3.4 : Opérateurs, fonctions propres, valeurs propres et états propres

L’opérateur de Laplacien est appelé un opérateur parce qu’il fait quelque chose à la fonction qui suit : à savoir, il produit ou génère la somme des trois dérivées secondes de la fonction. Bien sûr, cela ne se fait pas automatiquement ; vous devez faire le travail, ou vous souvenir d’utiliser correctement cet opérateur dans les manipulations algébriques. Les symboles pour les opérateurs sont souvent (mais pas toujours) dénotés par un chapeau ^ sur le symbole, à moins que le symbole soit utilisé exclusivement pour un opérateur, par exemple \(\nabla\) (del/nabla), ou n’implique pas de différenciation, par exemple \(r\) pour la position.

Rappellez-vous, que nous pouvons identifier l’opérateur d’énergie totale, qui est appelé l’opérateur Hamiltonien, \(\hat{H}\), comme étant composé de l’opérateur d’énergie cinétique plus l’opérateur d’énergie potentielle.

En utilisant cette notation, nous écrivons l’équation de Schrödinger comme

\

Le Hamiltonien

Le terme Hamiltonien, du nom du mathématicien irlandais Hamilton, provient de la formulation de la mécanique classique qui est basée sur l’énergie totale,

\

plutôt que la seconde loi de Newton,

\

L’équation \(\ref{3-23}\) dit que l’opérateur hamiltonien opère sur la fonction d’onde pour produire l’énergie, qui est un nombre, (une quantité de Joules), fois la fonction d’onde. Une telle équation, où l’opérateur, agissant sur une fonction, produit une constante multipliée par la fonction, est appelée équation de la valeur propre. La fonction est appelée fonction propre, et la valeur numérique qui en résulte est appelée valeur propre. Eigen est ici le mot allemand qui signifie soi ou propre.

C’est un principe général de la mécanique quantique qu’il existe un opérateur pour chaque observable physique. Une observable physique est tout ce qui peut être mesuré. Si la fonction d’onde qui décrit un système est une fonction propre d’un opérateur, alors la valeur de l’observable associée est extraite de la fonction propre en opérant sur la fonction propre avec l’opérateur approprié. La valeur de l’observable pour le système est la valeur propre, et on dit que le système est dans un état propre. L’équation \(\ref{3-23}\) énonce ce principe mathématiquement pour le cas de l’énergie comme observable.

Contributeurs et attributions

  • David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski (« Quantum States of Atoms and Molecules »)

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