Der Laplacian-Operator wird Operator genannt, weil er etwas mit der folgenden Funktion macht: Er erzeugt nämlich die Summe der drei zweiten Ableitungen der Funktion. Natürlich geschieht dies nicht automatisch; Sie müssen die Arbeit machen oder daran denken, diesen Operator bei algebraischen Manipulationen richtig zu verwenden. Symbole für Operatoren werden oft (wenn auch nicht immer) durch einen Hut ^ über dem Symbol gekennzeichnet, es sei denn, das Symbol wird ausschließlich für einen Operator verwendet, z. B. \(\nabla\) (del/nabla), oder beinhaltet keine Differenzierung, z. B. \(r\) für die Position.
Erinnern Sie sich daran, dass wir den Gesamtenergieoperator, der Hamiltonoperator genannt wird, \(\hat{H}\), als aus dem kinetischen Energieoperator plus dem potenziellen Energieoperator bestehend identifizieren können.
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Mit dieser Schreibweise schreiben wir die Schrödinger-Gleichung als
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Der Hamiltonianer
Der Begriff Hamiltonianer, benannt nach dem irischen Mathematiker Hamilton, stammt von der Formulierung der Klassischen Mechanik, die auf der Gesamtenergie beruht,
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anstelle von Newtons zweitem Gesetz,
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Gleichung \(\ref{3-23}\) besagt, dass der Hamilton-Operator auf die Wellenfunktion einwirkt, um die Energie zu erzeugen, die eine Zahl (eine Menge von Joule) mal die Wellenfunktion ist. Eine solche Gleichung, bei der der Operator, der auf eine Funktion einwirkt, eine Konstante mal die Funktion erzeugt, wird als Eigenwertgleichung bezeichnet. Die Funktion wird als Eigenfunktion bezeichnet, und der sich daraus ergebende numerische Wert wird als Eigenwert bezeichnet. Eigen ist hier das deutsche Wort für selbst oder eigen.
Es ist ein allgemeines Prinzip der Quantenmechanik, dass es für jede physikalische Beobachtung einen Operator gibt. Eine physikalische Observable ist alles, was gemessen werden kann. Wenn die Wellenfunktion, die ein System beschreibt, eine Eigenfunktion eines Operators ist, dann wird der Wert der zugehörigen Observablen aus der Eigenfunktion extrahiert, indem die Eigenfunktion mit dem entsprechenden Operator bearbeitet wird. Der Wert der Beobachtungsgröße für das System ist der Eigenwert, und man sagt, das System befinde sich in einem Eigenzustand. Die Gleichung \(\ref{3-23}\) gibt dieses Prinzip mathematisch für den Fall an, dass die Energie die Beobachtungsgröße ist.
Mitwirkende und Zuordnungen
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David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski („Quantenzustände von Atomen und Molekülen“)