Vous vous souvenez peut-être de l’algèbre et du calcul qu’une fonction peut être univoque et onto, et que ces propriétés sont liées au fait que la fonction est inversible ou non. Nous allons maintenant passer en revue ces idées importantes. En mathématiques avancées, le mot injectif est souvent utilisé à la place de un-à-un, et surjectif à la place de onto. Voici les définitions exactes :
Vous trouverez ci-dessous une description visuelle de la définition 12.4. En substance, injectif signifie que les éléments inégaux de A sont toujours envoyés vers des éléments inégaux de B. Surjectif signifie que chaque élément de B a une flèche pointant vers lui, c’est-à-dire qu’il est égal à f(a) pour un certain a dans le domaine de f.
Il y a quatre combinaisons injectives/surjectives possibles qu’une fonction peut posséder. Ceci est illustré ci-dessous pour quatre fonctions \(A \rightarrow B\). Les fonctions de la première colonne sont injectives, celles de la deuxième colonne ne sont pas injectives. Les fonctions de la première ligne sont surjectives, celles de la deuxième ligne ne le sont pas.
Nous notons au passage que, selon les définitions, une fonction est surjective si et seulement si son codomaine est égal à son étendue.
Comment montrer qu’une fonction \(f : A \rightarrow B\) est injective:
De ces deux approches, la contrapositive est souvent la plus facile à utiliser, surtout si f est définie par une formule algébrique. C’est parce que l’approche contrapositive commence par l’équation \(f(a) = f(a′)\) et procède à l’équation \(a = a’\). En algèbre, comme vous le savez, il est généralement plus facile de travailler avec des équations qu’avec des inégalités.
Comment montrer qu’une fonction \(f : A \rightarrow B\) est surjective:
Supposons \(b \in B\).
Exercice \(\PageIndex{1}\)
Détachons \(A= \{1,2,3,4\}\) et \(B = \{a,b,c}\). Donnez un exemple d’une fonction \(f : A \rightarrow B\) qui n’est ni injective ni surjective.
Exercice \(\PageIndex{2}\)
Exercice \(\PageIndex{3}\)
Exercice \(\PageIndex{4}\)
Exercice \(\PageIndex{5}\)
Exercice \(\PageIndex{6}\)
Exercice \(\PageIndex{7}\)
Exercice \(\PageIndex{8}\)
Exercice \(\PageIndex{9}\)
Preuve que la fonction \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) définie par \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) est bijective.
Exercice \(\PageIndex{10}\)
Preuve que la fonction \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) définie par \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) est bijective.
Exercice \(\PageIndex{11}\)
Exercice \(\PageIndex{12}\)
Exercice \(\PageIndex{13}\)
Exercice \(\PageIndex{14}\)
Exercice \(\PageIndex{15}\)
Exercice \(\PageIndex{16}\)
Exercice \(\PageIndex{17}\)
Exercice \(\PageIndex{18}\)
Preuve que la fonction \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) définie par \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) est bijective.