Możesz sobie przypomnieć z algebry i rachunku, że funkcja może być jednokierunkowa i onto, a te własności są związane z tym, czy funkcja jest odwracalna, czy nie. Dokonamy teraz przeglądu tych ważnych idei. W zaawansowanej matematyce często zamiast one-to-one używa się słowa injective, a zamiast onto – surjective. Oto dokładne definicje:

Poniżej znajduje się wizualny opis definicji 12.4. Injective oznacza, że nierówne elementy w A zawsze są przesyłane do nierównych elementów w B. Surjective oznacza, że każdy element B ma strzałkę wskazującą na niego, to znaczy, że jest równy f(a) dla jakiegoś a w dziedzinie f.

Istnieją cztery możliwe kombinacje injective/surjective, które może posiadać funkcja. Ilustruje to poniższa ilustracja dla czterech funkcji \(A \ B \). Funkcje w pierwszej kolumnie są iniekcyjne, te w drugiej kolumnie nie są iniekcyjne. Funkcje w pierwszym rzędzie są surjektywne, te w drugim rzędzie nie są.

Przy okazji zauważamy, że zgodnie z definicjami funkcja jest surjektywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej kodomena jest równa jej przedziałowi.

Jak wykazać, że funkcja \(f : A \) jest injekcyjna:

Z tych dwóch podejść, przeciwstawienie jest często najłatwiejsze do zastosowania, zwłaszcza jeśli f jest zdefiniowana przez wzór algebraiczny. Dzieje się tak dlatego, że podejście contrapositive zaczyna się od równania \(f(a) = f(a′)\) i przechodzi do równania \(a = a’\). W algebrze, jak wiadomo, zwykle łatwiej jest pracować z równaniami niż z nierównościami.

Jak pokazać, że funkcja \(f : A \row B \) jest surjektywna:

Załóżmy, że \(b \ w B \).

Ćwiczenie \(\PageIndex{1}})

Niech \(A= \{1,2,3,4\}) i \(B = \{a,b,c\}). Podaj przykład funkcji \(f : A \rightarrow B \), która nie jest ani iniekcyjna, ani surjektywna.

Ćwiczenie \(\PageIndex{2})

Ćwiczenie \(\PageIndex{3})

Ćwiczenie \(\PageIndex{4})

Ćwiczenie \(\PageIndex{5})

Ćwiczenie \(\PageIndex{6}})

Ćwiczenie \(\PageIndex{7}})

Ćwiczenie \(\PageIndex{8})

Ćwiczenie \(\PageIndex{9}})

Udowodnij, że funkcja \(f : \mathbb{R}-\i0} \prawidłowo \mathbb{R}-\i0} zdefiniowana przez \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\i0} jest bijektywna.

Ćwiczenie \(\PageIndex{10}\)

Udowodnij, że funkcja \(f : \mathbb{R}-\{1} \) określona przez \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) jest bijektywna.

Ćwiczenie \(\{11})

Ćwiczenie \(\{12})

Ćwiczenie \(\{13})

Ćwiczenie \(\{14})

Ćwiczenie \(\PageIndex{15})

Ćwiczenie \(\PageIndex{16})

Ćwiczenie \(\PageIndex{17})

Ćwiczenie \(\PageIndex{18})

Udowodnij, że funkcja \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \) zdefiniowana jako \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4} \) jest bijektywna.