Az algebrából és a számtanból emlékezhetsz arra, hogy egy függvény lehet egy-egy és onto, és ezek a tulajdonságok összefüggnek azzal, hogy a függvény invertálható-e vagy sem. Most áttekintjük ezeket a fontos gondolatokat. A haladó matematikában az egy-egy helyett gyakran használják az injektív szót, az onto helyett pedig a szürjektív szót. Íme a pontos definíciók:

Az alábbiakban a 12.4. definíció szemléletes leírása következik. Az injektív lényegében azt jelenti, hogy A egyenlőtlen elemei mindig eljutnak B egyenlőtlen elemeihez. A szurjektív azt jelenti, hogy B minden elemére egy nyíl mutat, azaz az f(a) egyenlő f(a)-val az f tartományában lévő valamilyen a-ra.

Négy lehetséges injektív/szurjektív kombinációval rendelkezhet egy függvény. Ezt az alábbiakban négy \(A \rightarrow B\) függvény esetében szemléltetjük. Az első oszlopban lévő függvények injektívek, a második oszlopban lévők nem injektívek. Az első sorban lévő függvények szürjektívek, a második sorban lévők nem.

Megjegyezzük mellékesen, hogy a definíciók szerint egy függvény akkor és csak akkor szürjektív, ha a kodomainje megegyezik a tartományával.

Hogyan lehet megmutatni, hogy egy \(f : A \rightarrow B\) függvény injektív:

A két megközelítés közül gyakran a kontrapozíciót a legkönnyebb használni, különösen, ha f-et algebrai képlettel definiáljuk. Ennek az az oka, hogy a kontrapozitív megközelítés a \(f(a) = f(a′)\) egyenletből indul ki, és a \(a = a’\) egyenletig halad. Az algebrában, mint tudjuk, általában könnyebb egyenletekkel dolgozni, mint egyenlőtlenségekkel.

Hogyan lehet megmutatni, hogy egy \(f : A \rightarrow B\) függvény szürjektív:

Tegyük fel, hogy \(b \in B\).

GYakorlat \(\PageIndex{1}\)

Legyen \(A= \{1,2,3,4\}\) és \(B = \{a,b,c\}\). Adjunk példát olyan \(f : A \rightarrow B\) függvényre, amely nem injektív és nem szurjektív.

gyakorlat \(\PageIndex{2}\)

gyakorlat \(\PageIndex{3}\)

gyakorlat \(\PageIndex{4}\)

gyakorlat \(\PageIndex{5}\)

gyakorlat. \(\PageIndex{6}\)

gyakorlat \(\PageIndex{7}\)

gyakorlat \(\PageIndex{8}\)

gyakorlat \(\PageIndex{9}\)

Bizonyítsuk, hogy az \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) által definiált függvény bijektív.

gyakorlat \(\PageIndex{10}\)

Bizonyítsuk be, hogy az \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) függvény \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) bijektív.

gyakorlat \(\PageIndex{11}\)

gyakorlat \(\PageIndex{12}\)

gyakorlat \(\PageIndex{13}\)

gyakorlat \(\PageIndex{14}\)

gyakorlat. \(\PageIndex{15}\)

gyakorlat \(\PageIndex{16}\)

gyakorlat \(\PageIndex{17}\)

gyakorlat \(\PageIndex{18}\)

Bizonyítsuk, hogy az \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) definíciója \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) bijektív.