Sie wissen vielleicht noch aus der Algebra und der Infinitesimalrechnung, dass eine Funktion eineindeutig und onto sein kann, und diese Eigenschaften hängen damit zusammen, ob die Funktion invertierbar ist oder nicht. Wir wollen nun diese wichtigen Ideen wiederholen. In der fortgeschrittenen Mathematik wird oft das Wort injektiv anstelle von eins-zu-eins und surjektiv anstelle von onto verwendet. Hier sind die genauen Definitionen:

Unten ist eine visuelle Beschreibung von Definition 12.4. Im Wesentlichen bedeutet injektiv, dass ungleiche Elemente in A immer zu ungleichen Elementen in B geschickt werden. Surjektiv bedeutet, dass jedes Element von B einen Pfeil hat, der auf es zeigt, das heißt, es ist gleich f(a) für irgendein a im Bereich von f.

Es gibt vier mögliche injektive/surjektive Kombinationen, die eine Funktion besitzen kann. Dies wird im Folgenden für vier Funktionen \(A \aufrecht B\) dargestellt. Die Funktionen in der ersten Spalte sind injektiv, die Funktionen in der zweiten Spalte sind nicht injektiv. Die Funktionen in der ersten Reihe sind surjektiv, die in der zweiten Reihe nicht.

Wir bemerken am Rande, dass eine Funktion nach den Definitionen nur dann surjektiv ist, wenn ihr Codomain gleich ihrem Bereich ist.

Wie zeigt man, dass eine Funktion \(f : A \rightarrow B\) injektiv ist:

Von diesen beiden Ansätzen ist der kontrapositive Ansatz oft am einfachsten zu verwenden, insbesondere wenn f durch eine algebraische Formel definiert ist. Das liegt daran, dass der kontrapositive Ansatz mit der Gleichung \(f(a) = f(a′)\) beginnt und zur Gleichung \(a = a’\) übergeht. In der Algebra ist es bekanntlich einfacher, mit Gleichungen als mit Ungleichungen zu arbeiten.

Wie zeigt man, dass eine Funktion \(f : A \geradeaus B\) surjektiv ist:

Angenommen, \(b \in B\).

Üben Sie \(\PageIndex{1}\)

Lassen Sie \(A= \{1,2,3,4\}\) und \(B = \{a,b,c\}\). Geben Sie ein Beispiel für eine Funktion \(f : A \rightarrow B\), die weder injektiv noch surjektiv ist.

Übung \(\SeitenIndex{2}\)

Übung \(\SeitenIndex{3}\)

Übung \(\SeitenIndex{4}\)

Übung \(\SeitenIndex{5}\)

Übung \(\Seitenindex{6}\)

Übung \(\Seitenindex{7}\)

Übung \(\Seitenindex{8}\)

Übung \(\Seitenindex{9}\)

Wir beweisen, dass die Funktion \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) definiert durch \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) bijektiv ist.

Übung \(\PageIndex{10}\)

Beweisen Sie, dass die Funktion \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) definiert durch \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) bijektiv ist.

Ausübung \(\PageIndex{11}\)

Ausübung \(\PageIndex{12}\)

Ausübung \(\PageIndex{13}\)

Ausübung \(\PageIndex{14}\)

Ausübung \(\Seitenindex{15}\)

Übung \(\Seitenindex{16}\)

Übung \(\Seitenindex{17}\)

Übung \(\Seitenindex{18}\)

Wir beweisen, dass die Funktion \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) definiert als \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) bijektiv ist.