L’operatore Laplaciano è chiamato operatore perché fa qualcosa alla funzione che segue: cioè produce o genera la somma delle tre derivate seconde della funzione. Naturalmente, questo non viene fatto automaticamente; è necessario fare il lavoro, o ricordarsi di usare correttamente questo operatore nelle manipolazioni algebriche. I simboli per gli operatori sono spesso (anche se non sempre) denotati da un cappello ^ sopra il simbolo, a meno che il simbolo sia usato esclusivamente per un operatore, ad esempio \(\nabla\) (del/nabla), o non coinvolga la differenziazione, ad esempio \(r\) per la posizione.

Ricordo, che possiamo identificare l’operatore di energia totale, che è chiamato operatore hamiltoniano, \(\hat{H}), come costituito dall’operatore di energia cinetica più l’operatore di energia potenziale.

Utilizzando questa notazione scriviamo l’equazione di Schrödinger come

L’equazione \(\ref{3-23}) dice che l’operatore hamiltoniano opera sulla funzione d’onda per produrre l’energia, che è un numero, (una quantità di Joule), per la funzione d’onda. Una tale equazione, in cui l’operatore, operando su una funzione, produce una costante per la funzione, è chiamata equazione degli autovalori. La funzione è chiamata funzione propria, e il valore numerico risultante è chiamato autovalore. Eigen qui è la parola tedesca che significa sé o proprio.

È un principio generale della Meccanica Quantistica che esiste un operatore per ogni osservabile fisico. Un osservabile fisico è qualsiasi cosa che può essere misurata. Se la funzione d’onda che descrive un sistema è un’autofunzione di un operatore, allora il valore dell’osservabile associato è estratto dall’autofunzione operando sull’autofunzione con l’operatore appropriato. Il valore dell’osservabile per il sistema è l’autovalore, e il sistema è detto essere in uno stato proprio. L’equazione \(\ref{3-23}) afferma matematicamente questo principio per il caso dell’energia come osservabile.