Du husker måske fra algebra og regning, at en funktion kan være en-til-en og onto, og at disse egenskaber hænger sammen med, om funktionen er invertibel eller ej. Vi gennemgår nu disse vigtige idéer. I avanceret matematik bruges ordet injektiv ofte i stedet for en-til-en, og surjektiv bruges i stedet for onto. Her er de nøjagtige definitioner:

Nedenfor er der en visuel beskrivelse af definition 12.4. I det væsentlige betyder injektiv, at ulige elementer i A altid bliver sendt til ulige elementer i B. Surjektiv betyder, at hvert element i B har en pil, der peger på det, dvs. at det er lig med f(a) for en vis a i domænet for f.

Der er fire mulige injektive/surjektive kombinationer, som en funktion kan besidde. Dette er illustreret nedenfor for fire funktioner \(A \rightarrow B\). Funktionerne i den første kolonne er injektive, funktionerne i den anden kolonne er ikke injektive. Funktioner i første række er surjektive, funktioner i anden række er det ikke.

Vi bemærker i forbifarten, at ifølge definitionerne er en funktion surjektiv, hvis og kun hvis dens kodomæne er lig med dens område.

Sådan viser man, at en funktion \(f : A \rightarrow B\) er injektiv:

Af disse to fremgangsmåder er kontrapositivet ofte den letteste at anvende, især hvis f er defineret ved en algebraisk formel. Det skyldes, at den kontrapositive fremgangsmåde starter med ligningen \(f(a) = f(a′)\) og fortsætter til ligningen \(a = a’\). I algebra er det som bekendt normalt nemmere at arbejde med ligninger end uligheder.

Sådan viser man, at en funktion \(f : A \rightarrow B\) er surjektiv:

Sæt, at \(b \i B\).

Ovelse \(\PageIndex{1}\)

Lad \(A= \{1,2,3,4\}\) og \(B = \{a,b,c\}\). Giv et eksempel på en funktion \(f : A \rightarrow B\), som hverken er injektiv eller surjektiv.

Opgave \(\PageIndex{2}\)

Opgave \(\PageIndex{3}\)

Opgave \(\PageIndex{4}\)

Opgave \(\PageIndex{5}\)

Opgave \(\PageIndex{5}\)

Opgave \(\PageIndex{6}\)

Opgave \(\PageIndex{7}\)

Opgave \(\PageIndex{8}\)

Opgave \(\PageIndex{9}\)

Bevis, at funktionen \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defineret ved \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) er bijektiv.

Ovelse \(\PageIndex{10}\)

Bevis, at funktionen \(f : \mathbb{R}-\{1\}} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defineret ved \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) er bijektiv.

Opgave \(\PageIndex{11}\)

Opgave \(\PageIndex{12}\)

Opgave \(\PageIndex{13}\)

Opgave \(\PageIndex{14}\)

Opgave \(\PageIndex{14}\)

Opgave \(\PageIndex{15}\)

Opgave \(\PageIndex{16}\)

Opgave \(\PageIndex{17}\)

Opgave \(\PageIndex{18}\)

Bevis, at funktionen \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defineret som \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) er bijektiv.