Két topológiai tér (X, TX) és (Y, TY) homeomorf, ha van olyan f : X → Y bijekció, amely folytonos, és amelynek f-1 inverze szintén folytonos az adott topológiák tekintetében; az ilyen f függvényt homeomorfizmusnak nevezzük. A topológiai terek közötti “homeomorf a” reláció a topológia legalapvetőbb relációja, mivel két homeomorf topológiai tér topológiai szempontból megkülönböztethetetlen – topológiailag ekvivalensek. A homeomorfizmus alternatív definíciója szerint egy f : X → Y bijekció akkor és csak akkor homeomorfizmus, ha mind f, mind f-1 nyitott halmazokat képez le nyitott halmazokra. Ha tehát (X, TX) és (Y, TY) homeomorf, akkor nemcsak X és Y elemei vannak egy-egy megfeleltetésben, hanem nyílt halmazaik is. Az (Y, TY)-t tehát tisztán topológiai tulajdonságait tekintve lényegében ugyanannak a térnek tekinthetjük, mint az (X, TX)-et: (X, TX) és (Y, TY) csupán két különböző módja ugyanannak a térnek a bemutatására.
Hasznos tehát, ha meg tudjuk határozni, hogy két adott topológiai tér homeomorf-e. Természetesen, ha találunk közöttük egy konkrét homeomorfizmust, akkor a kérdés megválaszolt; de ha nem találunk homeomorfizmust, akkor nem következtethetünk arra, hogy nincs. Tehát egy konkrét homeomorfizmus keresése nem biztos, hogy a legjobb megközelítés. Olyan kritériumokat akarunk, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy megmondjuk, hogy két adott felület homeomorf-e anélkül, hogy meg kellene próbálnunk egy konkrét homeomorfizmust konstruálni közöttük.
Egy hasonló helyzet, amely talán segít tisztázni, hogy miről van szó, a következő. A metrikus terek közötti olyan leképezést, amely megőrzi a távolságokat, izometriának nevezzük, és egy metrikus tér két részhalmaza, amelyek izometriával kapcsolódnak egymáshoz, lényegében azonosak, amennyiben metrikus tulajdonságaikról van szó. Vegyük például az 
2 ellipszisek gyűjteményét az euklideszi metrikával. Két ellipszis akkor és csak akkor izometrikus, ha a nagytengelyeik hossza megegyezik, és a kistengelyeik hossza megegyezik (lásd az 1. ábrát). Ez a két kritérium lehetővé teszi számunkra annak megállapítását, hogy két adott ellipszis izometrikus-e anélkül, hogy konkrét izometriát kellene konstruálnunk közöttük: egyszerűen összehasonlítjuk tengelyeik hosszát. Azt mondjuk, hogy a fő- és melléktengelyek hossza alapján az 2 ellipszisek izometriáig osztályozhatók.
Megjegyezzük, hogy a “2 ellipszisek izometriáig osztályozhatók” kifejezésben a vizsgált alakzatok osztályát (2 ellipszisek) határoztuk meg: kritériumaink csak ezekre a síkbeli alakzatokra vonatkoznak, és nem állítjuk, hogy más alakzatok is hasonló módon izometriáig osztályozhatók. Vegyük észre azt is, hogy fontos a “legfeljebb az izometriáig” minősítés szerepeltetése, mivel minden ellipszis homeomorf.
Ebben a kurzusban fő feladatunk a felületek egy bizonyos osztályának, a kompakt felületeknek a meghatározása, majd olyan kritériumok meghatározása, amelyek segítségével megállapíthatjuk, hogy két adott kompakt felület homeomorf-e egymással. Ezek a felületek mindössze három kritérium segítségével osztályozhatók, amint azt meg fogjuk mutatni. Valójában, ahogyan a 2 ellipsziseket az izometriáig mindössze két szám megadásával (a fő- és melléktengelyek hossza) tudjuk osztályozni, úgy az összes kompakt felületet a homeomorfizmusig mindössze három szám megadásával tudjuk osztályozni. A megfelelő tételt – az osztályozási tételt – a tanfolyam későbbi részében fogalmazzuk meg. Mielőtt kimondanánk az osztályozási tételt, példákat adunk a felületekre, megmutatjuk, hogyan lehet őket kezelni, definiálni és ábrázolni, és megvizsgáljuk néhány fontos tulajdonságukat.
A szellemiség, amelyben a felületeket ebben a kurzusban vizsgáljuk, abból ered, ahogyan a felületek elmélete a topológia többi részéhez kapcsolódik, és ez viszont tükröződik e tárgyak történetében. A felületek tanulmányozásakor hosszú utat tehetünk meg intuitív fogalmakkal, és a témát gyakran tanulmányozzák ilyen módon. Ma már hivatkozhatunk ezekre az intuíciókra, abban a biztos tudatban, hogy az intuitívan vonzó tételek szigorúan bizonyíthatóak. Valójában a szakirodalomban megjelenő pontos definíciók és szigorú bizonyítások gyakran olyan finom és bonyolult érveket tartalmaznak, amelyek egyébként nem illenek a geometriai topológiához, és aligha járulnak hozzá a mögöttes fogalmak megértéséhez.
Egy példa erre az úgynevezett Jordan-görbe-tétel, amely azt állítja, hogy a sík bármely görbéje, amely homeomorf egy körrel, a síkot két területre osztja, az egyik korlátos (a görbe “belseje”), a másik korlátlan (a “külseje”); a 2. ábra egy ilyen C görbét mutat a síkban, amelynek belseje árnyékolva van. Bár a Jordan-görbe tételének állítása teljesen hihető – sőt, a matematika számos területén alapvető fontosságú -, a tételt nehéz bizonyítani. Valószínű, hogy kevés matematikus látott valaha is bizonyítást, mert az ilyen bizonyítások csak megerősítik azt, amit már hiszünk. Természetesen jó, ha van bizonyítás, de nem tartjuk elengedhetetlennek, hogy minden eredményt bebizonyítsunk ebben a kurzusban. A Jordan-görbe tételének bizonyítását vizsgálva nem derül ki különösebben ellentmondásos bonyodalom, ezért a bizonyítást elhagyjuk.
Ebben a kurzusban jelezzük, mikor kell a fogalmakat intuitív szinten megérteni, és mikor van szükség pontosabb definíciókra, tételekre és bizonyításokra. Ahol lehetséges, szigorú definíciókat és bizonyításokat adunk.