Dos espacios topológicos (X, TX) e (Y, TY) son homeomorfos si existe una biyección f : X → Y que es continua, y cuya inversa f-1 también es continua, con respecto a las topologías dadas; tal función f se llama homeomorfismo. La relación «es homeomorfo a» entre espacios topológicos es la relación más fundamental en topología, porque dos espacios topológicos que son homeomorfos son indistinguibles desde un punto de vista topológico – son topológicamente equivalentes. Una definición alternativa de homeomorfismo es que una biyección f : X → Y es un homeomorfismo si y sólo si tanto f como f-1 mapean conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Así, si (X, TX) e (Y, TY) son homeomorfos, entonces no sólo los elementos de X e Y están en correspondencia uno a uno, sino que también lo están sus conjuntos abiertos. Por tanto, podemos considerar que (Y, TY) es esencialmente el mismo espacio que (X, TX), en lo que respecta a sus propiedades puramente topológicas: (X, TX) e (Y, TY) no son más que dos formas diferentes de presentar el mismo espacio.
Es por tanto útil poder determinar si dos espacios topológicos dados son homeomorfos. Por supuesto, si podemos encontrar un homeomorfismo específico entre ellos, entonces la pregunta está contestada; pero si no encontramos un homeomorfismo, entonces no podemos deducir que no lo hay. Así que buscar un homeomorfismo concreto puede no ser el mejor enfoque. Lo que queremos son criterios que nos permitan decir si dos superficies dadas son homeomorfas sin que tengamos que intentar construir un homeomorfismo específico entre ellas.
Una situación similar, que puede ayudar a aclarar de qué se trata, es la siguiente. Un mapa entre espacios métricos que preserva las distancias se llama isometría, y dos subconjuntos de un espacio métrico que están relacionados por una isometría son esencialmente los mismos, en lo que respecta a sus propiedades métricas. Por ejemplo, consideremos la colección de elipses en 
2, con la métrica euclidiana. Dos elipses son isométricas si y sólo si las longitudes de sus ejes mayores son iguales, y las longitudes de sus ejes menores son iguales (véase la figura 1). Estos dos criterios nos permiten determinar si dos elipses dadas son isométricas sin que tengamos que construir una isometría específica entre ellas: simplemente comparamos las longitudes de sus ejes. Decimos que las longitudes de los ejes mayor y menor clasifican a las elipses en 2 hasta la isometría.
Nótese que, en la frase «clasificar a las elipses en 2 hasta la isometría», hemos especificado la clase de figuras en consideración (elipses en 2): nuestros criterios se aplican sólo a estas figuras particulares en el plano, y no hacemos ninguna afirmación de que otras figuras puedan ser clasificadas hasta la isometría de manera similar. Nótese también la importancia de incluir el calificativo «hasta la isometría», ya que todas las elipses son homeomorfas.
En este curso, nuestra principal tarea es definir una cierta clase de superficies llamadas superficies compactas, y luego especificar los criterios que nos permiten determinar si dos superficies compactas dadas son homeomorfas. Estas superficies se pueden clasificar utilizando sólo tres criterios, como mostraremos. En efecto, al igual que podemos clasificar las elipses en 2 hasta la isometría especificando sólo dos números (las longitudes de los ejes mayor y menor), podemos clasificar todas las superficies compactas hasta el homeomorfismo especificando sólo tres números. El teorema apropiado -el Teorema de Clasificación- se enuncia más adelante en este curso. Antes de enunciar el Teorema de Clasificación, damos ejemplos de superficies, mostramos cómo pueden manipularse, definirse y representarse, y examinamos algunas de sus propiedades importantes.
El espíritu con el que exploramos las superficies en este curso surge del modo en que la teoría de las superficies se relaciona con el resto de la topología, y que a su vez se refleja en la historia de estos temas. Al estudiar las superficies podemos avanzar mucho con conceptos intuitivos, y el tema se estudia a menudo de esa manera. Hoy en día podemos apelar a estas intuiciones, con la seguridad de que los teoremas intuitivos pueden demostrarse rigurosamente. De hecho, las definiciones precisas y las demostraciones rigurosas que aparecen en la literatura implican con frecuencia argumentos sutiles y difíciles de un tipo que, por lo demás, no se corresponde con la topología geométrica, y pueden aportar poco a nuestra comprensión de los conceptos subyacentes.
Un ejemplo es el llamado Teorema de la Curva de Jordan, que afirma que cualquier curva en el plano que es homeomorfa a un círculo divide el plano en dos regiones, una acotada (el «interior» de la curva) y la otra no acotada (el «exterior»); la figura 2 muestra una curva C de este tipo en el plano, con su interior sombreado. Aunque el enunciado del teorema de la curva de Jordan es totalmente plausible -de hecho, es fundamental para muchas partes de las matemáticas-, el teorema es difícil de demostrar. De hecho, es probable que pocos matemáticos hayan visto alguna vez una demostración, porque esas pruebas no hacen más que confirmar lo que ya creemos. Es bueno tener una demostración, por supuesto, pero no consideramos esencial demostrar todos los resultados en este curso. El examen de la demostración del teorema de la curva de Jordan no revela ninguna complicación particularmente contraintuitiva, por lo que omitimos la demostración.
En este curso indicamos cuándo los conceptos deben entenderse a un nivel intuitivo, y cuándo se requieren definiciones, teoremas y demostraciones más precisas. Cuando es posible, proporcionamos definiciones y pruebas rigurosas.