Zwei topologische Räume (X, TX) und (Y, TY) sind homöomorph, wenn es eine Bijektion f : X → Y gibt, die stetig ist, und deren Inverse f-1 ebenfalls stetig ist, in Bezug auf die gegebenen Topologien; eine solche Funktion f wird Homöomorphismus genannt. Die Beziehung „ist homöomorph zu“ zwischen topologischen Räumen ist die grundlegendste Beziehung in der Topologie, denn zwei topologische Räume, die homöomorph sind, sind aus topologischer Sicht ununterscheidbar – sie sind topologisch äquivalent. Eine alternative Definition eines Homöomorphismus lautet, dass eine Bijektion f : X → Y dann und nur dann ein Homöomorphismus ist, wenn sowohl f als auch f-1 offene Mengen auf offene Mengen abbilden. Wenn also (X, TX) und (Y, TY) homöomorph sind, dann sind nicht nur die Elemente von X und Y eineindeutig, sondern auch ihre offenen Mengen. Wir können also (Y, TY) als im Wesentlichen denselben Raum wie (X, TX) betrachten, was seine rein topologischen Eigenschaften anbelangt: (X, TX) und (Y, TY) sind lediglich zwei verschiedene Arten, denselben Raum darzustellen.
Es ist daher nützlich, feststellen zu können, ob zwei gegebene topologische Räume homöomorph sind. Wenn wir einen bestimmten Homöomorphismus zwischen ihnen finden, ist die Frage natürlich beantwortet; wenn wir aber keinen Homöomorphismus finden, können wir nicht ableiten, dass es keinen gibt. Die Suche nach einem bestimmten Homöomorphismus ist also nicht unbedingt der beste Ansatz. Was wir wollen, sind Kriterien, die es uns ermöglichen, zu sagen, ob zwei gegebene Flächen homöomorph sind, ohne dass wir versuchen müssen, einen bestimmten Homöomorphismus zwischen ihnen zu konstruieren.
Eine ähnliche Situation, die helfen kann zu klären, worum es geht, ist die folgende. Eine Abbildung zwischen metrischen Räumen, die Abstände bewahrt, wird Isometrie genannt, und zwei Teilmengen eines metrischen Raumes, die durch eine Isometrie verbunden sind, sind im Wesentlichen gleich, soweit es ihre metrischen Eigenschaften betrifft. Betrachten wir zum Beispiel die Sammlung von Ellipsen in 
2, mit der euklidischen Metrik. Zwei Ellipsen sind nur dann isometrisch, wenn die Längen ihrer Hauptachsen gleich sind und die Längen ihrer Nebenachsen gleich sind (siehe Abbildung 1). Anhand dieser beiden Kriterien können wir feststellen, ob zwei gegebene Ellipsen isometrisch sind, ohne dass wir eine spezifische Isometrie zwischen ihnen konstruieren müssen: Wir vergleichen einfach die Längen ihrer Achsen. Wir sagen, dass die Längen der Haupt- und Nebenachsen Ellipsen in 2 bis zur Isometrie klassifizieren.
Beachte, dass wir in der Formulierung „Ellipsen in 2 bis zur Isometrie klassifizieren“ die Klasse der betrachteten Figuren (Ellipsen in 2) spezifiziert haben: unsere Kriterien gelten nur für diese speziellen Figuren in der Ebene, und wir behaupten nicht, dass andere Figuren auf ähnliche Weise bis zur Isometrie klassifiziert werden können. Man beachte auch die Bedeutung des Zusatzes „bis zur Isometrie“, da alle Ellipsen homöomorph sind.
In diesem Kurs besteht unsere Hauptaufgabe darin, eine bestimmte Klasse von Flächen, die sogenannten kompakten Flächen, zu definieren und dann Kriterien anzugeben, die es uns ermöglichen, zu bestimmen, ob zwei gegebene kompakte Flächen homöomorph sind. Wie wir zeigen werden, lassen sich diese Flächen anhand von nur drei Kriterien klassifizieren. Genauso wie wir Ellipsen in 2 bis zur Isometrie klassifizieren können, indem wir nur zwei Zahlen angeben (die Längen der Haupt- und Nebenachsen), können wir alle kompakten Flächen bis zur Homöomorphie klassifizieren, indem wir nur drei Zahlen angeben. Das entsprechende Theorem – der Klassifikationssatz – wird später in diesem Kurs erklärt. Bevor wir den Klassifikationssatz aufstellen, geben wir Beispiele für Flächen, zeigen, wie sie manipuliert, definiert und dargestellt werden können, und untersuchen einige ihrer wichtigen Eigenschaften.
Der Geist, in dem wir Flächen in diesem Kurs erforschen, ergibt sich aus der Art und Weise, wie die Theorie der Flächen mit dem Rest der Topologie zusammenhängt, und das wiederum spiegelt sich in der Geschichte dieser Themen wider. Bei der Untersuchung von Oberflächen können wir mit intuitiven Konzepten sehr weit gehen, und das Thema wird oft auf diese Weise untersucht. Heute können wir uns auf diese Intuitionen berufen, in der Gewissheit, dass die intuitiv ansprechenden Theoreme rigoros bewiesen werden können. Die präzisen Definitionen und strengen Beweise, die in der Literatur auftauchen, beinhalten häufig subtile und schwierige Argumente, die nicht zur geometrischen Topologie passen und wenig zu unserem Verständnis der zugrunde liegenden Konzepte beitragen können.
Ein Beispiel ist der so genannte Jordankurvensatz, der besagt, dass jede Kurve in der Ebene, die homöomorph zu einem Kreis ist, die Ebene in zwei Bereiche teilt, einen begrenzten (die „Innenseite“ der Kurve) und einen unbegrenzten (die „Außenseite“); Abbildung 2 zeigt eine solche Kurve C in der Ebene, wobei die Innenseite schattiert ist. Obwohl die Aussage des Jordankurvensatzes völlig plausibel ist – er ist sogar für viele Bereiche der Mathematik grundlegend – ist der Satz schwer zu beweisen. Es ist sogar wahrscheinlich, dass nur wenige Mathematiker jemals einen Beweis gesehen haben, da solche Beweise lediglich bestätigen, was wir bereits glauben. Es ist natürlich gut, einen Beweis zu haben, aber wir halten es nicht für notwendig, alle Ergebnisse in diesem Kurs zu beweisen. Die Untersuchung des Beweises für den Satz der Jordankurve zeigt keine besonders kontraintuitiven Komplikationen, und deshalb lassen wir den Beweis weg.
In diesem Kurs geben wir an, wann Konzepte auf einer intuitiven Ebene zu verstehen sind und wann genauere Definitionen, Theoreme und Beweise erforderlich sind. Wo es möglich ist, liefern wir strenge Definitionen und Beweise.