Deux espaces topologiques (X, TX) et (Y, TY) sont homéomorphes s’il existe une bijection f : X → Y qui est continue, et dont l’inverse f-1 est également continue, par rapport aux topologies données ; une telle fonction f est appelée un homéomorphisme. La relation » est homéomorphe à » entre des espaces topologiques est la relation la plus fondamentale en topologie, car deux espaces topologiques qui sont homéomorphes sont indiscernables d’un point de vue topologique – ils sont topologiquement équivalents. Une autre définition d’un homéomorphisme est qu’une bijection f : X → Y est un homéomorphisme si et seulement si f et f-1 transforment tous deux des ensembles ouverts en ensembles ouverts. Ainsi, si (X, TX) et (Y, TY) sont homéomorphes, alors non seulement les éléments de X et Y sont en correspondance univoque, mais leurs ensembles ouverts le sont aussi. Nous pouvons donc considérer (Y, TY) comme étant essentiellement le même espace que (X, TX), dans la mesure où ses propriétés purement topologiques sont concernées : (X, TX) et (Y, TY) sont simplement deux façons différentes de présenter le même espace.
Il est donc utile de pouvoir déterminer si deux espaces topologiques donnés sont homéomorphes. Bien sûr, si nous pouvons trouver un homéomorphisme particulier entre eux, alors la question est résolue ; mais si nous ne trouvons pas d’homéomorphisme, alors nous ne pouvons pas déduire qu’il n’y en a pas. La recherche d’un homéomorphisme particulier n’est donc peut-être pas la meilleure approche. Ce que nous voulons, ce sont des critères qui nous permettent de dire si deux surfaces données sont homéomorphes sans que nous ayons à essayer de construire un homéomorphisme spécifique entre elles.
Une situation similaire, qui peut aider à clarifier ce dont il s’agit, est la suivante. Une carte entre les espaces métriques qui préserve les distances est appelée une isométrie, et deux sous-ensembles d’un espace métrique qui sont reliés par une isométrie sont essentiellement les mêmes, dans la mesure où leurs propriétés métriques sont concernées. Par exemple, considérons la collection d’ellipses dans 
2, avec la métrique euclidienne. Deux ellipses sont isométriques si et seulement si les longueurs de leurs grands axes sont les mêmes, et les longueurs de leurs petits axes sont les mêmes (voir figure 1). Ces deux critères nous permettent de déterminer si deux ellipses données sont isométriques sans avoir à construire une isométrie spécifique entre elles : nous comparons simplement les longueurs de leurs axes. Nous disons que les longueurs du grand et du petit axe classent les ellipses en 2jusqu’à l’isométrie.
Notez que, dans la phrase « classent les ellipses en 2jusqu’à l’isométrie », nous avons spécifié la classe de figures considérée (les ellipses en 2) : nos critères ne s’appliquent qu’à ces figures particulières dans le plan, et nous ne prétendons pas que d’autres figures peuvent être classées jusqu’à l’isométrie de manière similaire. Notez également l’importance d’inclure la qualification « jusqu’à l’isométrie », puisque toutes les ellipses sont homéomorphes.
Dans ce cours, notre tâche principale est de définir une certaine classe de surfaces appelées surfaces compactes, puis de spécifier les critères qui nous permettent de déterminer si deux surfaces compactes données sont homéomorphes. Ces surfaces peuvent être classées en utilisant seulement trois critères, comme nous allons le montrer. En effet, de même que nous pouvons classer les ellipses dans 2 jusqu’à l’isométrie en spécifiant seulement deux nombres (les longueurs du grand et du petit axe), nous pouvons classer toutes les surfaces compactes jusqu’à l’homéomorphisme en spécifiant seulement trois nombres. Le théorème approprié – le théorème de classification – est énoncé plus loin dans ce cours. Avant d’énoncer le théorème de classification, nous donnons des exemples de surfaces, nous montrons comment elles peuvent être manipulées, définies et représentées, et nous examinons certaines de leurs propriétés importantes.
L’esprit dans lequel nous explorons les surfaces dans ce cours découle de la façon dont la théorie des surfaces se rapporte au reste de la topologie, et qui à son tour se reflète dans l’histoire de ces sujets. Lorsque l’on étudie les surfaces, on peut aller très loin avec des concepts intuitifs, et le sujet est souvent étudié de cette manière. Aujourd’hui, nous pouvons faire appel à ces intuitions, tout en sachant que les théorèmes intuitifs peuvent être prouvés rigoureusement. En effet, les définitions précises et les preuves rigoureuses apparaissant dans la littérature impliquent fréquemment des arguments subtils et difficiles d’un type autrement hors de propos avec la topologie géométrique, et peuvent ajouter peu à notre compréhension des concepts sous-jacents.
Un exemple est le théorème dit de la courbe de Jordan, qui affirme que toute courbe dans le plan qui est homéomorphe à un cercle divise le plan en deux régions, l’une bornée (l' »intérieur » de la courbe) et l’autre non bornée (l' »extérieur ») ; la figure 2 montre une telle courbe C dans le plan, avec son intérieur ombré. Bien que l’énoncé du théorème de la courbe de Jordan soit tout à fait plausible – en fait, il est fondamental pour de nombreuses parties des mathématiques – le théorème est difficile à prouver. En fait, il est probable que peu de mathématiciens aient jamais vu une preuve, car ces preuves ne font que confirmer ce que nous croyons déjà. Il est bon d’avoir une preuve, bien sûr, mais nous ne considérons pas qu’il soit essentiel de prouver tous les résultats dans ce cours. L’examen de la preuve du théorème de la courbe de Jordan ne révèle aucune complication particulièrement contre-intuitive, et nous omettons donc la preuve.
Dans ce cours, nous indiquons quand les concepts doivent être compris à un niveau intuitif, et quand des définitions, théorèmes et preuves plus précis sont nécessaires. Lorsque cela est possible, nous fournissons des définitions et des preuves rigoureuses.