Annexe A : Autres aperçus de l’organisation spatiale de la crista et des cellules ciliées

La forme globale de la crista varie selon les espèces. Elle a été décrite pour les anamniotes (poissons et amphibiens), et pour les amniotes (reptiles, oiseaux, mammifères).

Chez les poissons, la crista de tous les SCC est en forme de selle et étroite au centre. Pour les CSC verticaux, la crista est plus large aux deux composantes de la limite (nommée planum semilunatum). Chez les grenouilles, les cristes des CSC verticaux ont une forme d’haltère, avec une surface arquée proéminente en son milieu, mais la crista du canal latéral a une seule zone réceptrice en forme de massue située à une extrémité. À partir de cette zone réceptrice élargie, une seule masse cupulaire se projette le long de la paroi pour atteindre l’apex, et une portion un peu plus mince surgit du reste de la zone réceptrice de la crista et complète la majeure partie de la cupule (Hillman 1974).

Chez les amniotes, par exemple chez les raies, les lézards, les tortues, les pigeons, la plupart des rongeurs (souris, rats, gerbille mais pas chinchilla), les chats, les singes et les humains, les cristaux des canaux verticaux (postérieurs et antérieurs) peuvent avoir la forme d’un haltère. Elles présentent deux hémi-cristes, chacune avec une zone centrale, séparées par un septum cruciatum (Fig. 2 ; Lindeman 1969). Dans ce cas, la cupule s’étend à partir de la base du récepteur sous la forme de deux masses arquées reliées en leur centre par une région plus fine. En revanche, le canal horizontal ne possède en général qu’une seule zone centrale. Les variations morphologiques entre les SCC horizontaux et verticaux ne sont pas surprenantes ; les canaux horizontaux sont apparus plus récemment dans l’évolution, et utilisent des expressions génétiques différentes pour leur développement. Pour le SCC latéral, la dépolarisation des HC se produit lorsque la force est exercée vers l’utricule, mais pour les canaux verticaux, au contraire, la dépolarisation se produit lorsque la force est exercée vers le conduit (Fig. 2).

Les études morphologiques réalisées par Landolt et al. (1972) sur des pigeons, ont mis en évidence que la géométrie de surface des cristaux des ampoules membraneuses antérieures et postérieures est significativement différente de celle de l’ampoule membraneuse latérale. Vu de dessus, le contenu des ampoules associées aux conduits verticaux rappelle une croix. Les bras courts de cette croix sont constitués de deux protubérances, les eminentiae cruciatae, et de l’umbo qui les sépare, le torus septi. Il y a donc morphologiquement « deux cristaux » dans chaque ampoule. Chacune de ces « deux cristae » est en forme de selle, mais la crista ampullaris de l’ampoule membraneuse latérale est une crête en forme de V qui traverse le petit axe de la lumière de l’ampoule membraneuse, comme un caténoïde. Cependant, dans les trois ampoules, la crista ampullaris présente une symétrie bilatérale autour d’un plan médial au tore, et une autre symétrie bilatérale autour du plan transversal médial qui est parallèle à la cupule (Fig. 2, panneau c).

La crista ampullaris atteint un tiers de la hauteur de l’ampoule et contient le neuroépithélium, les vaisseaux sanguins et les fibres nerveuses. Le neuroépithélium est principalement constitué de cellules ciliées et de cellules de soutien qui sont en grande partie responsables des propriétés biomécaniques de la crista et des propriétés rhéologiques du gel dans la cupule ; les cellules adjacentes à l’épithélium sensoriel contribuent également à la structure du gel (Lindeman 1969 ; Dohlman 1971).

Les cellules ciliées sur la crista

Chez les amniotes, il existe au moins deux types différents de cellules ciliées (HC) : les cellules de type I sont enveloppées par les dendrites calices des neurones afférents, sur la face interne de l’épithélium de la crista, mais les cellules de type II sont contactées par des terminaisons boutons (Wersäll 1954, 1956). (Il faut noter que la majorité des neurones afférents chez les mammifères sont dimorphiques, entrant en contact avec les HC de type I et de type II). Cependant, le principal gradient physiologique est donné par la position dans l’épithélium, par exemple sur la crista, la plupart des cellules phasiques sont au centre et les plus toniques sont à la périphérie (Goldberg et Brichta 1998 ; Eatock et Songer 2011). Chez les oiseaux, les HC de type I sont limitées au centre de la crista, mais chez les mammifères, les HC de type I se trouvent partout, et chez les primates, il y a une dominance des cellules de type I sur toute la crista (cf. Lysakowski et Goldberg 2008 sur le singe écureuil). Cependant, la crista des mammifères présente une organisation concentrique avec trois types de neurones afférents et de physiologie et morphologie des HC : un centre, une zone intermédiaire et une périphérie.

La densité des cellules ciliées n’est pas uniforme sur la surface de la crista ; elle est significativement plus élevée à la périphérie qu’au centre (Hillman 1974 ; Lindeman 1969). La différence de densité entre le centre et la périphérie est plus marquée pour les cellules de type I, alors que les cellules de type II étaient réparties plus uniformément entre le sommet et la périphérie des cristaux (Goldberg et Brichta 1998). Les faisceaux de poils sont plus courts dans la région centrale que dans les régions périphériques des cristaux (cf. aussi Njeugna et al. 1996).

Les faisceaux de poils (HBs) des HCs présentent une variété de morphologies et de physiologies pour tous les épithéliums des organes terminaux vestibulaires, crista du canal ou macula de l’otolithe (Brichta et al. 2002).

Les stéréocils d’un HB sont insérés à l’apex du HC selon une disposition régulière, et ils sont interconnectés d’au moins trois façons : connexions basales, contact latéral et liaisons de pointe, (Howard et al. 1988). Il a été prouvé (au moins pour les mouvements vibratoires) que la déviation du faisceau est synchrone et cohérente (Kozlov et al. 2006).

Plusieurs études ont rapporté l’insertion du kinocilium dans l’enveloppe de la cupule, et des filaments formant des voiles et des tubes, reliant les stéréocils à l’espace de la subcupule (Suzuki et al. 1984 ; Rüsch et Thurm 1989).

Structure de la cupule

La cupule a été décrite pour la première fois avec précision par Steinhausen (1933) comme une substance gélatineuse s’étendant jusqu’au toit de l’ampoule et jusqu’à ses parois latérales.

Différentes théories ont été proposées pour la cupule. Zalin (1967) a proposé que la cupule soit suspendue au toit de l’ampoule. Dohlman (1971) a proposé que la cupule se déplace comme un piston, et a suggéré que le fluide endolymphatique circule au niveau du toit de l’ampoule, et non le long de la crista, mais plus tard (1977, 1980) il a suggéré un point de vue différent selon lequel l’endolymphe circule dans l’espace subcupulaire. Rüsch et Thurm (1989) ont donné des arguments en faveur d’une composition différente du fluide dans l’antre de la cupule (Muller 1999).

Chez le poisson crapaud, Yamauchi et al. (2001) ont montré que la cupule peut se déconnecter du toit, mais reste attachée à la limite de la crista.

En outre, Dohlman (1977, 1980) a proposé que des structures rigides, comme des filaments ou des tubes, relient les stéréocils à la cupule. Une telle structure filamenteuse a également été observée par Suzuki et al. (1984), et Rüsch et Thurm (1989), Takumida (2001). Cependant, cette structure pourrait dépendre des différences entre les espèces. Par exemple, Silver et al. (1998) ont rapporté l’absence de telles structures chez le poisson-crapaud. L’optimalité d’un espace subcupulaire mince pour augmenter la sensibilité a été prouvée par Muller (1999).

D’après les travaux de Hillman et McLaren (1979), étudiant les grenouilles, et de Silver et al. (1998), étudiant le crapaud huître (opsanus tau), nous pouvons déduire que le complexe cupulaire est composé de quatre parties (Fig. 3) : des ailes latérales de part et d’autre, des piliers centraux conjoints au milieu (formant la coquille cupulaire), et un antre cupulaire près de la crista, rempli de gel isotrope, renforcé par du collagène dirigé verticalement (cf. Hunter-Duvar et Hinojosa 1984 pour les mammifères). L’enveloppe cupulaire est constituée de fibres de tissu conjonctif, densément emballées et réticulées. En conséquence, Takumida (2001) a distingué la cupule au sens étroit (pour la coque cupulaire) et le maillage subcupulaire (pour l’antre cupulaire).

L’antre cupulaire contient un milieu aqueux dans lequel se projettent les faisceaux de cellules ciliées (formés de multiples stéréocils et d’un seul kinocilium), qui naissent de la surface apicale des cellules ciliées sensorielles (Hillman et McLaren 1979). Ce gel peut être dépourvu de matériel, comme chez le crapaud (Silver et al. 1998), mais il peut aussi être rempli de structures de connexion, comme chez le cobaye (Takumida 2001). Chez le cobaye, Wersäll (1956) a décrit de fins canaux verticaux où se trouvent les faisceaux de HC. Cet ensemble de fibres fines conjonctives et de cils a été appelé par Takumida (2001) le maillage subcupulaire. Il s’agit d’une masse de matériel extracellulaire, hautement spécialisée (Landolt et al. 1972 ; Silver et al. 1998).

Takumida a proposé une relation fonctionnelle entre les cellules ciliées sensorielles et la cupule (Takumida 2001). Selon son observation, la texture isotrope hautement réticulée de l’enveloppe cupulaire indique que cette couche pourrait fonctionner comme une plaque rigide et distribue également les forces d’inertie par la grande masse de la cupule entière à tous les faisceaux de cheveux sensoriels. La contrainte de cisaillement due à l’accélération relative de la cupule entraîne une déformation de cisaillement de la cupule elle-même. L’énergie provenant du mouvement de la cupule est transmise aux poils sensoriels directement ou indirectement par le réseau subcupulaire. Cette observation de Takumida est la base principale de notre hypothèse d’invariance. En fait, la fonction du système cupulaire est de transformer la déformation tridimensionnelle de la cupule en une flexion unidimensionnelle des cellules ciliées, et nous interprétons l’hypothèse d’une distribution égale des forces de Takumida comme une hypothèse de réduction dimensionnelle par un groupe de symétrie à un paramètre.

Modèles de cupules

Il existe maintenant des preuves expérimentales que la cupule se déplace comme un diaphragme lorsqu’elle est soumise à un gradient de pression (Hillman et McLaren 1979 ; Yamauchi et al. 2001).

La théorie standard est que la cupule est analogue à une membrane de tambour (Landolt et al. 1972). Aussi Van Buskirk (1976) a modélisé la cupule comme une membrane élastique qui s’étend sur toute l’ampoule sous la forme d’un diaphragme. (Pour une revue des modèles de cupules, voir également McLaren et Hillman 1979 ; Hillman et McLaren 1979.)

Selon les expériences réalisées sur la cupule de la grenouille taureau, McLaren et Hillman (1979) et Hillman et McLaren (1979) ont suggéré que la base de la cupule glisse sur la surface de la crista et cisaille l’espace subcupulaire entre la crista et la cupule. Notez que la contrainte de cisaillement sur toute la largeur transversale de la crista est soit excitatrice, soit inhibitrice pour toutes les cellules ciliées en même temps (Rabbitt et al. 2001), en fonction du déplacement transversal des ailes de la cupule.

Kondrachuk et al. (1987) ont donné un modèle mathématique des variations temporelles de la cupule ; en particulier, ils ont discuté des propriétés de viscosité-élasticité de la cupule pour l’applicabilité d’un modèle de membrane. D’autres (par ex, Astakhova 1989, 1990) ont considéré le système comme étant composé d’un piston élastique (cupule) dans un fluide visqueux (endolymphe).

Vega et al. (2008) ont effectué une comparaison entre les deux modèles, qui a démontré que la dynamique du comportement cupulaire sous stimulation périodique est équivalente pour les modèles cupulaires à piston et à membrane.

Par conséquent, bien que le déplacement cupulaire maximal se produise près du centre géométrique de l’ampoule, la contrainte de cisaillement maximale se produit précisément au niveau où les faisceaux de poils sensoriels se projettent dans la cupule. Ce point a été souligné dans les travaux de (Muller 1999). Étant donné que c’est le déplacement relatif entre les cils adjacents qui conduit finalement au déclenchement des canaux de transduction, la contrainte de cisaillement dans la cupule semble être idéalement adaptée pour activer les cellules ciliées. Pour les rotations vibratoires de la tête, la dynamique couplée du fluide dans les canaux et de la cupule implique l’existence d’une bande de fréquence critique où le déplacement transversal de la cupule est proportionnel à, et en phase avec, la vitesse angulaire de la tête (Wilson et Melvill Jones 1979 ; Rabbitt et al. 2001). Dans cette bande, la déformation de cisaillement est proportionnelle au déplacement volumique au niveau de la cupule. Highstein et al. (2005) et Rabbitt et al. (2001) ont fait une simulation de ce point.

Il existe des preuves expérimentales que la cupule (i) a une certaine rigidité et résiste à la déformation à partir de sa position de repos, (ii) a une viscosité et résiste au taux de changement de la déformation à partir de la position de repos, et (iii) a un champ de déviation spatialement non uniforme (Damiano et Rabbitt 1996). La rigidité rotative \(K\) en unités \(SI\) est \(K = 7,1 \cdot 10^{-11}\) N m/rad (Grant et Van Buskirk 1976). La cupule recouvre entièrement la section transversale de l’ampoule. Il s’agit d’une structure relativement épaisse (un tiers de la hauteur, par exemple 0,15 mm de largeur pour 0,45 mm de hauteur chez l’axolotl, Vega et al. 2008), mais on suppose qu’elle se déforme uniformément dans l’épaisseur, une hypothèse restrictive que l’on retrouve également chez Damiano et Rabbitt (1996). Ceci est conforme au plan fonctionnel suggéré par Takumida (2001).

Dans notre étude, nous avons modélisé le système cupulaire comme un solide visco-élastique newtonien inhomogène, composé de quatre domaines homogènes : les ailes (ou deux parois latérales), la cupule proprement dite (ou deux piliers cupulaires), l’antre cupulaire et la crista. L’incompressibilité du gel dans l’antre est affirmée par Selva et al. (2009) ; Yamauchi et al. (2001) ; Kassemi et al. (2005).

La majeure partie de la présente étude concerne l’antre, considéré comme un hydrogel (Selva et al. 2009). Ainsi, nous ne supposons pas l’homogénéité de la cupule, mais nous supposons l’homogénéité de la partie inférieure de la cupule (antrum) à proximité de la crista. Cette hypothèse est explicitement formulée par la plupart des articles de modélisation (Selva et al. 2009 ; Vega et al. 2008 ; Damiano 1999). Le déplacement dans la cupule étant une question de quelques micromètres, fréquemment une dizaine de nanomètres, les équations de notre modèle correspondront à la loi de Hooke linéaire.

Annexe B : Analyse et démonstrations

Le tenseur \(\sigma ^{ij}\) est symétrique (c’est-à-dire, \(\sigma ^{ij}\)=\sigma ^{ji}\) pour toute paire \(i,j\) d’indices).

Nous faisons l’hypothèse que la cupule antrum a un modèle visco-élastique linéaire, qui est incompressible.

Sur l’épithélium sensoriel, la condition limite est une expression de l’équilibre des forces à la frontière entre chaque compartiment, c’est-à-dire entre les fibres de la cupule et l’antre de la cupule et entre l’antre de la cupule et la crista:

La dynamique est décrite par la loi de Newton, assimilant la divergence du tenseur \(\sigma ^{ij}\) à la somme des forces appliquées et de l’accélération covariante du déplacement \(u^i\), qui est la force d’inertie. Ceci est exprimé par les équations (17) et (19) aux positions d’équilibre, qui sont atteintes au déplacement maximum. Notons que la dépense totale d’énergie dépend de ce cas.

L’autre équation est l’équation (18) qui exprime l’incompressibilité.

Lors des mouvements, la différence de pression exercée sur les parois de la cupule les déplace, générant des variations de la densité d’énergie interne à l’intérieur de l’antre :

La variation totale de l’énergie cinétique est donnée par l’équation (21). Nous en déduirons que la dissipation d’énergie due à la viscosité dans la cupule est proportionnelle à l’intégrale de la norme carrée du tenseur \(\sigma \) pour le plus grand déplacement. L’expression ne serait pas différente pour un fluide viscoélastique, avec un effet mémoire ou avec un effet de relaxation. Les forces de cisaillement exercées sur l’épithélium des cristaux sont la composante \((\sigma .\mathbf{n})^{i}=\sum _j\sigma ^{ij}n_j\) le long du vecteur normal ; la transmission de l’information par les HCs implique qu’elle donne une contribution non nulle dans cette intégrale. Le calcul du terme \(u_{13}\) sous notre contrainte d’invariance montrera que la surface totale de \(\varSigma \) doit être minimale si nous voulons minimiser la perte d’énergie.

Remarquez que des résultats similaires devraient être obtenus avec la même preuve pour un modèle de Kelvin de solide visco-élastique, ou pour un modèle de Maxwell de fluide visco-élastique. Même pour les modèles non linéaires, le résultat pourrait être justifié, car à l’équilibre, pour un déplacement maximal, le système est bien approché par un système linéaire. Cependant, pour un modèle non linéaire, d’autres sources de perte d’énergie doivent être prises en compte.

De la statique à la géométrie

Nous adoptons les notations et les hypothèses de la section 2.

Les quatre équations d’équilibre:

Pour l’opérateur de Hodge \(*\), on a

et

Alors

Cela donne :

Donc le coefficient de \(\mathrm{d}x^1\mathrm{d}x^2\) dans \(*\mathrm{d}*\mathrm{d}\beta \) doit être nul, ce qui donne la première équation :

Et le coefficient de \(\mathrm{d}x_2\mathrm{d}x_3\) donne la troisième équation:

On obtient une équation de plus en exprimant que \(\mathrm{d}*\beta =0\). De la formule suivante:

la quatrième équation d’équilibre est:

Preuve de la proposition 1

Preuve de la proposition 3

On écrit l’équation. (73) à l’ordre un dans \(x_3\). Les coefficients \(g^{ij}\) s’obtiennent par inversion de la matrice \(g_{ij}\):

Ainsi, au premier ordre dans \(x_3\), on obtient

Nous écrivons maintenant \(b\) pour le troisième coefficient dans \(x_3\) de \(\beta ^{1}\), l’Eq. (73) à l’ordre un, peut être écrite

ce qui donne le résultat sur \(\beta ^{1}\), en utilisant \(b_1^{1}+b_2^{2}=0\). Mais \(u_1=g^{11}\beta ^{1}+g^{12}\beta ^{2}\) donc à l’ordre \(3\) dans \(x_3\) on a:

ce qui donne le deuxième résultat.\(\square \)

Preuve de la proposition 4

La proposition découle des définitions en regroupant les termes.

Par exemple :

la même chose pour \(u_{22}\) et \(u_{33}\). Maintenant pour les symboles mixtes:

Et pour le dernier:

c’est-à-dire

De là découle le résultat annoncé. \(\square \)

Preuve du premier corollaire de la proposition 4

Nous avons par hypothèse que la trace de \(u_{ij}\) est nulle, soit \(u_1^{1}+u_2^{2}=0\), ce qui donne à l’ordre zéro en \(x_3\) :