Muistat ehkä algebrasta ja laskennasta, että funktio voi olla yksikäsitteinen ja onto, ja nämä ominaisuudet liittyvät siihen, onko funktio käännettävissä vai ei. Käymme nyt läpi nämä tärkeät ideat. Edistyneemmässä matematiikassa käytetään usein sanaa injektiivinen sanan one-to-one sijasta ja sanaa surjektiivinen sanan onto sijasta. Tässä ovat tarkat määritelmät:

Alhaalla on visuaalinen kuvaus määritelmästä 12.4. Pohjimmiltaan injektiivinen tarkoittaa, että A:n epätasa-arvoiset elementit lähetetään aina B:n epätasa-arvoisiin elementteihin. Surjektiivinen tarkoittaa, että jokaiseen B:n elementtiin osoittaa nuoli, eli se on yhtä kuin f(a) jollakin a:lla f:n toimialueella.

Funktiolla voi olla neljä mahdollista injektiivisen/surjektiivisen yhdistelmää. Tämä on havainnollistettu alla neljälle funktiolle \(A \rightarrow B\). Ensimmäisessä sarakkeessa olevat funktiot ovat injektiivisiä, toisessa sarakkeessa olevat eivät ole injektiivisiä. Ensimmäisen rivin funktiot ovat surjektiivisia, toisen rivin funktiot eivät ole.

Huomautamme ohimennen, että määritelmien mukaan funktio on surjektiivinen, jos ja vain jos sen koodialue on yhtä suuri kuin sen alue.

Miten osoitetaan, että funktio \(f : A \rightarrow B\) on injektiivinen:

Näistä kahdesta lähestymistavasta kontrapositiivi on usein helpoin käyttää, varsinkin jos f on määritelty algebrallisen kaavan avulla. Tämä johtuu siitä, että kontrapositiivinen lähestymistapa alkaa yhtälöstä \(f(a) = f(a′)\) ja etenee yhtälöön \(a = a’\). Kuten tiedätte, algebrassa on yleensä helpompi työskennellä yhtälöiden kuin epätasa-arvojen kanssa.

Miten osoitetaan, että funktio \(f : A \oikea B\) on surjektiivinen:

Esitetään \(b \in B\).

Harjoitus \(\PageIndex{1}\)

Asetetaan \(A= \{1,2,3,4\}\) ja \(B = \{a,b,c\}\). Anna esimerkki funktiosta \(f : A \rightarrow B\), joka ei ole injektiivinen eikä surjektiivinen.

Harjoitus \(\Sivunindeksi{2}\)

Harjoitus \(\Sivunindeksi{3}\)

Harjoitus \(\Sivunindeksi{4}\)

Harjoitus \(\Sivunindeksi{5}\)

Harjoitus. \(\PageIndex{6}\)

Harjoitus \(\PageIndex{7}\)

Harjoitus \(\PageIndex{8}\)

Harjoitus \(\PageIndex{9}\)

Varmennetaan, että funktion \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\), joka on määritelty \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) on bijektiivinen.

Harjoitus \(\PageIndex{10}\)

Varmista, että funktio \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\), joka on määritelty kaavalla \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\), on bijektiivinen.

Harjoitus \(\Sivunindeksi{11}\)

Harjoitus \(\Sivunindeksi{12}\)

Harjoitus \(\Sivunindeksi{13}\)

Harjoitus \(\Sivunindeksi{14}\)

Harjoitus. \(\PageIndex{15}\)

Harjoitus \(\PageIndex{16}\)

Harjoitus \(\PageIndex{17}\)

Harjoitus \(\PageIndex{18}\)

Varmennetaan, että funktion \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\), joka on määritelty muodossa \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) on bijektiivinen.