To topologiske rum (X, TX) og (Y, TY) er homeomorfe, hvis der findes en vedektion f : X → Y, der er kontinuert, og hvis omvendte f-1 også er kontinuert med hensyn til de givne topologier; en sådan funktion f kaldes en homeomorfi. Relationen “er homeomorfi til” mellem topologiske rum er den mest grundlæggende relation i topologien, fordi to topologiske rum, der er homeomorfe, ikke kan adskilles fra et topologisk synspunkt – de er topologisk set ækvivalente. En alternativ definition af en homøomorfisme er, at en bijektion f : X → Y er en homøomorfisme, hvis og kun hvis både f og f-1 kortlægger åbne mængder til åbne mængder. Hvis (X, TX) og (Y, TY) således er homeomorfe, er ikke blot elementerne i X og Y i en én-til-én korrespondance, men det samme gælder deres åbne mængder. Vi kan således betragte (Y, TY) som værende stort set det samme rum som (X, TX), for så vidt angår dets rent topologiske egenskaber: (X, TX) og (Y, TY) er blot to forskellige måder at præsentere det samme rum på.
Det er derfor nyttigt at kunne afgøre, om to givne topologiske rum er homøomorfe. Hvis vi kan finde en specifik homeomorfi mellem dem, er spørgsmålet naturligvis besvaret; men hvis vi ikke kan finde en homeomorfi, kan vi ikke udlede, at der ikke findes en sådan; men hvis vi ikke kan finde en homeomorfi, kan vi ikke udlede, at der ikke findes nogen. Så at lede efter en bestemt homeomorfi er måske ikke den bedste fremgangsmåde. Det, vi ønsker, er kriterier, der gør det muligt for os at sige, om to givne overflader er homeomorfe, uden at vi behøver at forsøge at konstruere en specifik homeomorfi mellem dem.
En lignende situation, som måske kan hjælpe med at tydeliggøre, hvad der er tale om, er følgende. Et kort mellem metriske rum, der bevarer afstande, kaldes en isometri, og to delmængder af et metrisk rum, der er relateret ved en isometri, er i det væsentlige de samme, for så vidt angår deres metriske egenskaber. For eksempel kan man betragte samlingen af ellipser i 
2, med den euklidiske metrik. To ellipser er isometriske, hvis og kun hvis længderne af deres store akser er de samme, og hvis længderne af deres små akser er de samme (se figur 1). Disse to kriterier gør det muligt at afgøre, om to givne ellipser er isometriske, uden at vi behøver at konstruere en specifik isometri mellem dem: vi sammenligner blot længderne af deres akser. Vi siger, at længderne af stor- og lilleaksen klassificerer ellipser i 2 op til isometri.
Bemærk, at vi i udtrykket “klassificerer ellipser i 2 op til isometri” har specificeret den klasse af figurer, der er i betragtning (ellipser i 2): vores kriterier gælder kun for disse særlige figurer i planen, og vi hævder ikke, at andre figurer kan klassificeres op til isometri på en lignende måde. Bemærk også vigtigheden af at medtage forbeholdet “op til isometri”, da alle ellipser er homeomorfe.
I dette kursus er vores vigtigste opgave at definere en bestemt klasse af overflader kaldet kompakte overflader og derefter at angive kriterier, der gør det muligt at afgøre, om to givne kompakte overflader er homeomorfe. Disse flader kan klassificeres ved hjælp af blot tre kriterier, som vi skal vise. Ligesom vi kan klassificere ellipser i 2 op til isometri ved kun at angive to tal (længden af stor- og lilleaksen), kan vi klassificere alle kompakte overflader op til homeomorfi ved kun at angive tre tal. Den relevante sætning – klassifikationssætningen – er anført senere i dette kursus. Inden vi angiver klassifikationssætningen, giver vi eksempler på overflader, viser, hvordan de kan manipuleres, defineres og repræsenteres, og undersøger nogle af deres vigtige egenskaber.
Den ånd, hvormed vi undersøger overflader i dette kursus, udspringer af den måde, hvorpå teorien om overflader relaterer sig til resten af topologien, og det afspejler sig igen i disse emners historie. Når vi studerer overflader, kan vi komme langt med intuitive begreber, og emnet er ofte studeret på den måde. I dag kan vi appellere til disse intuitioner, idet vi er sikre på, at de intuitivt tiltalende sætninger kan bevises stringent. De præcise definitioner og strenge beviser, der optræder i litteraturen, omfatter ofte subtile og vanskelige argumenter af en art, der ellers ikke er i overensstemmelse med geometrisk topologi, og som måske kun bidrager lidt til vores forståelse af de underliggende begreber.
Et eksempel er den såkaldte Jordan-kurve-sætning, som hævder, at enhver kurve i planen, der er homøomorf til en cirkel, opdeler planen i to områder, et afgrænset (kurvens “inderside”) og et uafgrænset (ydersiden); figur 2 viser en sådan kurve C i planen, hvor dens inderside er skraveret. Selv om udsagnet om Jordan-kurve-sætningen er helt plausibelt – det er faktisk grundlæggende for mange dele af matematikken – er sætningen vanskelig at bevise. Faktisk er det sandsynligt, at kun få matematikere nogensinde har set et bevis, fordi sådanne beviser blot bekræfter det, som vi allerede tror. Det er naturligvis godt at have et bevis, men vi mener ikke, at det er vigtigt at bevise alle resultaterne i dette kursus. En gennemgang af beviset for Jordankurvesætningen afslører ingen særligt kontraintuitive komplikationer, og derfor udelader vi beviset.
I dette kursus angiver vi, hvornår begreber skal forstås på et intuitivt niveau, og hvornår mere præcise definitioner, teoremer og beviser er nødvendige. Hvor det er muligt, giver vi stringente definitioner og beviser.