Biografi

Pafnuty Chebyshev’s forældre var Agrafena Ivanova Pozniakova og Lev Pavlovich Chebyshev. Pafnuty blev født i Okatovo, en lille by i det vestlige Rusland, sydvest for Moskva. På tidspunktet for hans fødsel havde hans far trukket sig tilbage fra hæren, men tidligere i sin militære karriere havde Lev Pavlovich kæmpet som officer mod Napoleons invasionshære. Pafnuty Lvovich blev født på den lille familieejendom i en overklassefamilie med en imponerende historie. Lev Pavlovich og Agrafena Ivanova fik ni børn, hvoraf nogle af dem fulgte i deres fars militære tradition.
Lad os sige lidt om livet i Rusland på den tid, hvor Pafnuty Lvovich voksede op. Der var en stor national stolthed i landet efter det russiske nederlag til Napoleon, og deres sejr førte til, at Rusland blev betragtet af andre europæiske lande med en blanding af frygt og respekt. På den ene side var der dem i landet, der betragtede Rusland som overlegen i forhold til andre lande og argumenterede for, at det burde isolere sig fra dem. På den anden side var der uddannede unge russere, der havde tjent i hæren, som havde set Europa, lært at læse og tale fransk og tysk, som kendte noget til europæisk kultur, litteratur og videnskab, og de argumenterede for en vestliggørelse af landet.
Pafnuty Lvovichs tidlige uddannelse foregik i hjemmet, hvor både hans mor og hans kusine Avdotia Kvintillianova Soukhareva var hans lærere. Af sin mor lærte han de grundlæggende færdigheder i at læse og skrive, mens hans kusine fungerede som guvernante for den unge dreng og lærte ham fransk og regning. Senere i livet ville Pafnuty Lvovich få stor gavn af at kunne tale flydende fransk, for det ville gøre Frankrig til et naturligt sted at besøge, fransk til et naturligt sprog til at kommunikere matematik på en international scene og give ham en forbindelse med de førende europæiske matematikere. Alt var dog ikke let for den unge dreng, for med det ene ben længere end det andet humpede han, hvilket forhindrede ham i at deltage i mange af de normale aktiviteter i barndommen.
I 1832, da Pafnuty Lvovich var 11 år gammel, flyttede familien til Moskva. Der fortsatte han med at blive undervist i hjemmet, men han blev nu undervist i matematik af P N Pogorelski, der blev anset for at være den bedste elementære matematiklærer i Moskva. Pogorelski var forfatter til nogle af de mest populære tekster om elementær matematik i Rusland på det tidspunkt, og han inspirerede helt sikkert sin elev og gav ham en solid matematisk uddannelse. Tjefysjev var derfor godt forberedt på sit studie af de matematiske videnskaber, da han kom ind på Moskvas universitet i 1837.

Det russiske universitetssystem, som Tjefysjev kom ind på, havde undergået betydelige ændringer. Moskva-universitetet, som han kom ind på, var blevet grundlagt i 1755 og var bygget efter forbillede af de tyske universiteter. Men efter den russiske sejr over Napoleon var der den vestliggørende bevægelse i landet, som vi nævnte ovenfor. Alexander I, Ruslands kejser, så universiteterne som grobund for, hvad han anså for at være farlige doktriner fra Vesteuropa, og universiteterne blev i 1820’erne presset til at afskedige personale, der underviste i sådanne doktriner. En ny undervisningsminister blev udnævnt i 1833 under Nikolaj I, der var blevet russisk kejser i 1825, og han fremmede en friere intellektuel atmosfære på universiteterne, men til gengæld blev børn fra de lavere klasser udelukket.
På Moskvas universitet var den person, der kom til at påvirke Tjefysjev mest, Nikolai Dmetrievich Brashman, der havde været professor i anvendt matematik på universitetet siden 1834. Brashman var især interesseret i mekanik, men hans interesser var vidtfavnende, og ud over kurser i maskinteknik og hydraulik underviste han sine studerende i teorien om integration af algebraiske funktioner og sandsynlighedsregning. Tjefysjev anerkendte altid den store indflydelse Brashman havde haft på ham, mens han studerede på universitetet, og krediterede ham som den vigtigste indflydelse i retning af hans forskningsinteresser, idet han henviste til deres “dyrebare personlige samtaler”.
Den afdeling for fysik og matematik, hvor Tjefysjev studerede, annoncerede en priskonkurrence for året 1840-41. Tjefysjev indsendte en opgave om Beregning af ligningers rødder, hvori han løste ligningen y=f(x)y = f (x)y=f(x) ved hjælp af en serieudvidelse for den omvendte funktion af fff. Papiret blev ikke offentliggjort på det tidspunkt (selv om det blev offentliggjort i 1950’erne), og det blev kun tildelt andenprisen i konkurrencen snarere end den guldmedalje, som det næsten helt sikkert fortjente. Tjefysjev dimitterede med sin første grad i 1841 og fortsatte med at studere til sin kandidatgrad under Brashmans vejledning.
En gang, langt senere i sin karriere, protesterede Tjefysjev mod at blive beskrevet som en “pragtfuld russisk matematiker” og sagde, at han sikkert var en “verdensomspændende matematiker” snarere end en russisk matematiker. Det er meget tydeligt, at Tjefysjev lige fra det tidspunkt, hvor han begyndte sine studier til sin kandidatgrad, sigtede efter international anerkendelse. Hans allerførste artikel blev skrevet på fransk og handlede om multiple integraler. Han indsendte papiret til Liouville i slutningen af 1842, og papiret blev offentliggjort i Liouvilles tidsskrift i 1843. Det indeholder en formel, som er angivet uden bevis og den følgende papir i den første del af bind 8 af tidsskriftet indeholder et bevis for den formel givet af catalansk. I forfatterne foreslår, at Chebyshev kan have besøgt Paris i 1842 ledsage den russiske geograf Chikhachev, der helt sikkert mødte Catalan (der hjalp Liouville i udarbejdelsen af hans journal) i december samme år. Der er ingen afgørende beviser, men det må være meget sandsynligt, at hvis Tjefysjev ikke personligt besøgte Paris i 1842, så sendte han sin afhandling til Liouville via Chikhachev.

Tjefysjev fortsatte med at stræbe efter international anerkendelse med sin anden afhandling, igen skrevet på fransk, der udkom i 1844 og blev offentliggjort af Crelle i hans tidsskrift. Dette papir var om konvergens af Taylor-serier. I sommeren 1846 blev Chebyshev eksamineret på sin kandidatafhandling og samme år udgav han et papir baseret på denne afhandling, igen i Crelles tidsskrift. Afhandlingen drejede sig om sandsynlighedsteori, og i den udviklede han de vigtigste resultater af teorien på en stringent, men elementær måde. Især det papir, han offentliggjorde ud fra sin afhandling, undersøgte Poissons svage lov om store tal.
I løbet af 1843 udarbejdede Tjefysjev et første udkast til en afhandling, som han havde til hensigt at forelægge for at opnå sin ret til at holde forelæsninger, når han havde fundet en passende stilling. Tiderne var hårde, og Moskva havde ingen passende stillinger til rådighed for Tjefysjev, men i 1847 blev han udnævnt til universitetet i Sankt Petersborg, hvor han forelagde sin afhandling Om integration ved hjælp af logaritmer. I den generaliserede han metoder fra Ostrogradski for at vise, at en formodning, som Abel fremsatte i 1826 om integralet af f(x)/√R(x)f (x)/√R(x)f(x)/√R(x), hvor f(x)f (x)f(x) og R(x)R(x)R(x)R(x) er polynomier, var sand. I en rapport, som han skrev om et besøg i Paris i 1852, beskrev Tjefysjev, hvordan han blev bedt om at videreudvikle ideerne (se for eksempel ):-

Liouville og Hermite foreslog ideen om at udvikle de ideer, som min afhandling var baseret på. … i afhandlingen betragtede jeg det tilfælde, hvor differentialet under integralet indeholder kvadratroden af en rationel funktion. Men det var interessant i flere henseender at udvide disse principper til en rod af en hvilken som helst grad.

Men selv om Tjefysjevs afhandling ikke blev offentliggjort før efter hans død, offentliggjorde han et papir med nogle af dens resultater i 1853.
Mellem ankomsten til Sankt Petersborg og denne publikation fra 1853 offentliggjorde Tjefysjev nogle af sine mest berømte resultater om talteori. Han skrev en vigtig bog Teoria sravneny om kongruenceteorien, som han indleverede til sin doktorgrad og forsvarede den den 27. maj 1849. Dette arbejde modtog også en pris fra videnskabsakademiet. Han samarbejdede med Bunyakovsky om at udarbejde en komplet udgave af Eulers 99 talteoretiske artikler, som de udgav i to bind i 1849. Tjefysjevs arbejde om primtal omfattede bestemmelse af antallet af primtal, der ikke overstiger et givet tal, offentliggjort i 1848, og et bevis for Bertrands formodning.

I 1845 formodede Bertrand, at der altid var mindst ét primtal mellem nnn og 2n2n2n2n for n>3n > 3n>3. Tjefysjev beviste Bertrands formodning i 1850. Chebyshev var også tæt på at bevise primtalssætningen, idet han beviste, at hvis

(med π(n)\pi (n)π(n) π(n) antallet af primtal ≤ nnn) havde en grænse som n→∞n \til \inftyn→∞, så er denne grænse 1. Han var imidlertid ikke i stand til at bevise, at

eksisterer. Beviset for dette resultat blev først afsluttet to år efter Chebyshevs død af Hadamard og (uafhængigt af hinanden) de la Vallée Poussin.
Chebyshev blev forfremmet til ekstraordinær professor i Sankt Petersborg i 1850. To år senere, mellem juli og november 1852, besøgte han Frankrig, London og Tyskland. Vi har ovenfor nævnt hans beretning om denne rejse, hvor han havde lejlighed til at undersøge forskellige dampmaskiner og deres mekanik i praksis. Hans rapport dækker hans studier af anvendt mekanik samt hans diskussioner med franske matematikere, herunder Liouville, Bienaymé, Hermite, Serret, Poncelet, og engelske matematikere, herunder Cayley og Sylvester. I Berlin mødte han Dirichlet:-

Det var af stor interesse for mig at blive bekendt med den berømte geometer Lejeune-Dirichlet. … fandt en lejlighed hver dag til at tale med denne geometer om såvel som andre spørgsmål om ren og anvendt analyse. … med særlig fornøjelse en af hans forelæsninger om teoretisk mekanik.

Faktisk stammer Tjefysjevs interesse både for teorien om mekanismer og for teorien om tilnærmelse fra hans rejse i 1852. I Tichomirov studerede Tjefysjevs arbejde med tilnærmelsesteori og skriver:-

Tjefysjev … lagde grunden til den russiske skole for tilnærmelsesteori: vi viser forholdet mellem Tjefysjevs ideer i tilnærmelsesteori og anvendte problemer (teori om mekanismer og beregningsmatematik).

Afhandlinger, der opstod som en direkte følge af rejsen, var bl.a. Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes udgivet i 1854. Det var i dette værk, at hans berømte Tjebyshev-polynomier optrådte for første gang, men han fortsatte senere med at udvikle en generel teori om ortogonale polynomier. I Roy diskuterer hans bidrag til om ortogonale polynomier og sætter arbejdet ind i sin historiske kontekst:-

Chebyshev var sandsynligvis den første matematiker til at anerkende det generelle begreb ortogonale polynomier. Nogle få særlige ortogonale polynomier var kendt før hans arbejde. Legendre og Laplace var stødt på Legendre-polynomierne i deres arbejde med himmellegemekanik i slutningen af det 18. århundrede. Laplace havde fundet og studeret Hermite-polynomierne i forbindelse med sine opdagelser inden for sandsynlighedsteori i begyndelsen af det nittende århundrede. Andre isolerede eksempler på ortogonale polynomier, der optræder i forskellige matematikeres arbejde, nævnes senere. Det var Chebyshev, der så muligheden for en generel teori og dens anvendelser. Hans arbejde udsprang af teorien om mindste kvadraters tilnærmelse og sandsynlighed; han anvendte sine resultater på interpolation, tilnærmet kvadratur og andre områder. Han opdagede den diskrete analogi til Jacobi-polynomierne, men deres betydning blev ikke anerkendt før i dette århundrede. De blev genopdaget af Hahn og opkaldt efter ham, da de blev genopdaget. Geronimus har påpeget, at Tjefysjev allerede i sit første papir om ortogonale polynomier havde Christoffel-Darboux-formlen.

Den rejse Tjefysjev foretog i 1852 var én af mange. Ud over de matematikere, vi har nævnt, som han mødte på denne rejse, havde han også kontakt med andre europæiske matematikere som Lucas, Borchardt, Kronecker og Weierstrass (se f.eks.) Næsten hver sommer rejste Tjechov i Vesteuropa, men når han ikke gjorde det, tilbragte han sommeren i Catherinenthal i nærheden af Reval (nu kendt som Tallinn i Estland). Vi har ikke fuldstændige oplysninger om hans mange vesteuropæiske besøg, men vi ved, at han talte på møderne i den franske forening for videnskabens fremme mellem 1873 og 1882 og fremlagde seksten rapporter, idet han deltog i møderne i Lyon i 1873, Clermont-Ferrand i 1876, Paris i 1878 og La Rochelle i 1882. Ud over hans rejse til Frankrig i 1852 og de netop nævnte rejser mellem 1873 og 1882 har vi optegnelser over besøg, som han foretog i 1856, 1864, 1884 og 1893. Besøget i 1884, hvor han sandsynligvis besøgte en række europæiske universiteter, endte på universitetet i Liège, hvor han ledede festlighederne til ære for Catalans pensionering.
Vi har nævnt nogle af de bidrag, som Tjefysjev ydede til sandsynlighedsteorien. I 1867 udgav han en artikel om middelværdier, som brugte Bienaymés ulighed til at give en generaliseret lov for store tal. Som følge af hans arbejde med dette emne er uligheden i dag ofte kendt som Bienaymé-Chebyshev-uligheden. Tyve år senere udgav Chebyshev to teoremer om sandsynlighed, som danner grundlaget for anvendelse af sandsynlighedsteorien på statistiske data, og som generaliserer de Moivre og Laplaces centrale grænsesætning. Om dette skrev Kolmogorov (se f.eks. ):-

Den vigtigste betydning af Tjefysjevs arbejde er, at han gennem det altid stræbte efter at estimere præcist i form af uligheder, der er absolut gyldige under et hvilket som helst antal tests, de mulige afvigelser fra grænsegentlighederne. Endvidere var Tjefysjev den første, der klart estimerede og gjorde brug af begreber som “tilfældig mængde” og dens “forventningsværdi (middelværdi)”.

Lad os nævne nogle få yderligere aspekter af Tjefysjevs arbejde. I teorien om integraler generaliserede han betafunktionen og undersøgte integraler af formen

Andre emner, som han bidrog til, var konstruktionen af kort, beregningen af geometriske volumener og konstruktionen af regnemaskiner i 1870’erne. Inden for mekanik studerede han problemer i forbindelse med omdannelse af roterende bevægelse til retlinet bevægelse ved hjælp af mekanisk kobling. Chebyshev-parallelbevægelsen er tre sammenkoblede stænger, der tilnærmer sig en retlinet bevægelse. Han skrev mange artikler om sine mekaniske opfindelser; Lucas udstillede modeller og tegninger af nogle af disse på Conservatoire National des Arts et Métiers i Paris. I 1893 blev syv af hans mekaniske opfindelser udstillet på verdensudstillingen i Chicago, der blev afholdt for at fejre 400-årsdagen for Christopher Columbus’ opdagelse af Amerika, herunder hans opfindelse af en særlig cykel til kvinder.

En række berømte matematikere blev undervist af Chebyshev og gav en beskrivelse af ham som foredragsholder. Det første citat, vi giver, er af Lyapunov, der deltog i foredrag af Chebyshev i 1870’erne. Citatet er givet flere steder (se for eksempel eller ): –

Hans kurser var ikke omfangsrige, og han tog ikke hensyn til mængden af den leverede viden; snarere stræbte han efter at belyse nogle af de vigtigste aspekter af de problemer, han talte om. Det var livlige, opslugende foredrag; nysgerrige bemærkninger om betydningen og vigtigheden af visse problemer og videnskabelige metoder var der altid rigeligt af. Nogle gange kom han med en bemærkning i forbifarten i forbindelse med en konkret sag, som de havde overvejet, men de tilstedeværende beholdt den altid i baghovedet. Derfor var hans foredrag meget stimulerende; de studerende fik noget nyt og væsentligt ved hvert foredrag; han underviste i bredere synspunkter og usædvanlige standpunkter.

Vores andet citat om Tjefysjev som lærer stammer fra Dmitrij Graves skrifter, som deltog i Tjefysjevs foredrag i 1880’erne (se f.eks. ):-

Tjefysjev var en vidunderlig foredragsholder. Hans kurser var meget korte. Så snart klokken lød, lod han straks kridtet falde, og humpende forlod han auditoriet. På den anden side var han altid punktlig og kom ikke for sent til undervisningen. Særligt interessante var hans digressioner, når han fortalte om, hvad han havde talt uden for landet eller om Hermites eller andres svar. Så anstrengte hele auditoriet sig for ikke at gå glip af et ord.

Lad os citere fra et foredrag, som Tjefysjev holdt i 1856, hvor han forklarede, hvordan han så på samspillet mellem den rene og den anvendte side af matematikken. Det er et interessant citat, for meget af Tjefysjevs arbejde inden for matematikken blev udført efter disse principper (se for eksempel eller ):-

Den tættere indbyrdes tilnærmelse af synspunkterne i teori og praksis giver de mest gavnlige resultater, og det er ikke udelukkende den praktiske side, der vinder; under dens indflydelse udvikler videnskaberne sig, idet denne tilnærmelse leverer nye studieobjekter eller nye aspekter i emner, der længe har været velkendte. På trods af de matematiske videnskabers store fremskridt, der skyldes de sidste tre århundreders fremragende matematikeres arbejde, afslører praksis klart deres ufuldkommenhed i mange henseender; den foreslår problemer, der er grundlæggende nye for videnskaben, og udfordrer således til at søge helt nye metoder. Og hvis teorien vinder meget ved nye anvendelser eller udviklinger af gamle metoder, er gevinsten endnu større, når nye metoder opdages; og her finder videnskaben en pålidelig vejleder i praksis.

Men hvad angår Tjefysjevs personlige liv, var han aldrig gift og boede alene i et stort hus med ti værelser. Han var rig og brugte kun lidt på dagligdagens bekvemmeligheder, men han havde en stor kærlighed, nemlig at købe ejendom. Det var på dette, han brugte de fleste af sine penge, men han støttede økonomisk en datter, som han nægtede at anerkende officielt. Han tilbragte tid sammen med denne datter, især efter at hun havde giftet sig med en oberst. Tjechysjev mødtes ofte med hende og hendes mand i Rudakovo hos sin søster Nadiejda.
Tjechysjev trak sig tilbage fra sit professorat ved Sankt Petersborgs universitet i 1882; han var blevet udnævnt til netop denne stilling 22 år tidligere. Han havde modtaget mange hædersbevisninger i løbet af sin karriere, og der skulle endnu et par stykker til at komme hans vej. Han blev juniorakademiker i Sankt Petersborgs videnskabsakademi i 1853 med en stol i anvendt matematik, ekstraordinær akademiker i 1856 og almindelig akademiker i 1859, igen med en stol i anvendt matematik. Han blev valgt som korresponderende medlem af Société Royale des Sciences i Liège i 1856, af Société Philomathique, ligeledes i 1856, af Berlins videnskabsakademi i 1871, Bologna-akademiet i 1873, Royal Society of London i 1877, det italienske kongelige akademi i 1880 og det svenske videnskabsakademi i 1893. Han blev valgt til korresponderende medlem af Institut de France i 1860 og til udenlandsk associeret medlem af Institut de France i 1874. Desuden valgte alle russiske universiteter ham til en ærespost, han blev æresmedlem af Skt. Petersborg Artilleriakademi og blev tildelt den franske æreslegion.