Podrás recordar del álgebra y del cálculo que una función puede ser unívoca y onto, y que estas propiedades están relacionadas con que la función sea o no invertible. Ahora repasaremos estas importantes ideas. En matemáticas avanzadas, a menudo se utiliza la palabra inyectiva en lugar de uno-a-uno, y suryectiva en lugar de onto. Aquí están las definiciones exactas:

Abajo hay una descripción visual de la Definición 12.4. En esencia, inyectiva significa que los elementos desiguales de A siempre son enviados a elementos desiguales de B. Suryectiva significa que cada elemento de B tiene una flecha que apunta a él, es decir, es igual a f(a) para algún a en el dominio de f.

Hay cuatro posibles combinaciones inyectivas/subjetivas que puede poseer una función. Esto se ilustra a continuación para cuatro funciones \N(A \N y B\N). Las funciones de la primera columna son inyectivas, las de la segunda columna son no inyectivas. Las funciones de la primera fila son sobreyectivas, las de la segunda fila no lo son.

Notamos de paso que, según las definiciones, una función es sobreyectiva si y sólo si su codominio es igual a su rango.

Cómo demostrar que una función \N(f : A \Ncerca de B\) es inyectiva:

De estas dos aproximaciones, la contrapositiva es a menudo la más fácil de usar, especialmente si f está definida por una fórmula algebraica. Esto se debe a que la aproximación contrapositiva comienza con la ecuación \(f(a) = f(a′)\Ny procede a la ecuación \N(a = a’\N). En álgebra, como ya sabes, suele ser más fácil trabajar con ecuaciones que con inecuaciones.

Cómo demostrar que una función \N(f : A \Ndirectamente B\) es sobreyectiva:

Supongamos que \N(b \Nen B\).

Ejercitar \(\PageIndex{1})

Supongamos que \(A= \{1,2,3,4\}} y \(B = \a,b,c\}}. Dar un ejemplo de una función \(f : A \\Narrow B\) que no es ni inyectiva ni suryectiva.

Ejercicio \N(\NIndicePágina{2})

Ejercicio \N(\NIndicePágina{3})

Ejercicio \N(\NIndicePágina{4})

Ejercicio \N(\NIndicePágina{5})

Ejercicio \N-(\NIndicePágina{6})

Ejercitar \N-(\NIndicePágina{7})

Ejercitar \N-(\NIndicePágina{8})

Ejercitar \N-(\NIndicePágina{9})

Demostrar que la función \N(f : \mathbb{R}-{2\} \mathbb{R}-{5\}}) definida por \frac(x)= \frac{5x+1}{x-2}}) es biyectiva.

Ejercicio (\PageIndex{10})

Demostrar que la función (f : \mathbb{R}-{1\} \rightarrow \mathbb{R}-{1\}) definida por \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}) es biyectiva.

Ejercicio \N(\NIndicePágina{11})

Ejercicio \N(\NIndicePágina{12})

Ejercicio \N(\NIndicePágina{13})

Ejercicio \N(\NIndicePágina{14})

Ejercicio \N-(\NIndicePágina{15})

Ejercitar \N-(\NIndicePágina{16})

Ejercitar \N-(\NIndicePágina{17})

Ejercitar \N-(\NIndicePágina{18})

Demostrar que la función \N(f : \mathbb{N} \mathbb{Z}) definida como \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}) es biyectiva.