Två topologiska rum (X, TX) och (Y, TY) är homeomorfa om det finns en övergång f : X → Y som är kontinuerlig, och vars omvända f-1 också är kontinuerlig, med avseende på de givna topologierna; en sådan funktion f kallas homeomorfism. Relationen ”är homeomorf till” mellan topologiska rum är den mest grundläggande relationen inom topologin, eftersom två topologiska rum som är homeomorfa inte kan särskiljas ur topologisk synvinkel – de är topologiskt likvärdiga. En alternativ definition av en homeomorfism är att en bifunktion f : X → Y är en homeomorfism om och endast om både f och f-1 avbildar öppna uppsättningar till öppna uppsättningar. Om (X, TX) och (Y, TY) är homeomorfa är det alltså inte bara elementen i X och Y som motsvarar varandra, utan även deras öppna mängder. Vi kan således betrakta (Y, TY) som i huvudsak samma rum som (X, TX), när det gäller dess rent topologiska egenskaper: (X, TX) och (Y, TY) är bara två olika sätt att presentera samma rum.
Det är därför användbart att kunna avgöra om två givna topologiska rum är homeomorfa. Om vi kan hitta en specifik homeomorfism mellan dem är naturligtvis frågan besvarad; men om vi inte kan hitta en homeomorfism kan vi inte dra slutsatsen att det inte finns någon homeomorfism. Så att leta efter en särskild homeomorfism är kanske inte det bästa tillvägagångssättet. Vad vi vill ha är kriterier som gör det möjligt för oss att säga om två givna ytor är homeomorfa utan att vi behöver försöka konstruera en specifik homeomorfism mellan dem.
En liknande situation, som kan bidra till att klargöra vad det handlar om, är följande. En karta mellan metriska rum som bevarar avstånd kallas isometri, och två delmängder av ett metriskt rum som är relaterade genom en isometri är i stort sett desamma, såvitt gäller deras metriska egenskaper. Tänk till exempel på samlingen av ellipser i 
2, med den euklidiska metriken. Två ellipser är isometriska om och endast om längderna på deras huvudaxlar är desamma, och längderna på deras mindre axlar är desamma (se figur 1). Dessa två kriterier gör det möjligt att avgöra om två givna ellipser är isometriska utan att vi behöver konstruera en specifik isometri mellan dem: vi jämför helt enkelt längderna på deras axlar. Vi säger att längden på den stora och den lilla axeln klassificerar ellipser i 2 upp till isometri.
Bemärk att i frasen ”klassificera ellipser i 2 upp till isometri” har vi specificerat klassen av figurer som vi betraktar (ellipser i 2): våra kriterier gäller endast för dessa särskilda figurer i planet, och vi gör inget anspråk på att andra figurer kan klassificeras upp till isometri på ett liknande sätt. Observera också vikten av att inkludera kvalificeringen ”upp till isometri”, eftersom alla ellipser är homeomorfa.
I den här kursen är vår huvuduppgift att definiera en viss klass av ytor som kallas kompakta ytor, och sedan att specificera kriterier som gör det möjligt för oss att avgöra om två givna kompakta ytor är homeomorfa. Dessa ytor kan klassificeras med hjälp av endast tre kriterier, vilket vi ska visa. Precis som vi kan klassificera ellipser i 2 upp till isometri genom att ange endast två tal (längden på den stora och den lilla axeln), kan vi klassificera alla kompakta ytor upp till homeomorfism genom att ange endast tre tal. Den lämpliga satsen – klassificeringssatsen – anges senare i denna kurs. Innan vi anger klassifikationssatsen ger vi exempel på ytor, visar hur de kan manipuleras, definieras och representeras och undersöker några av deras viktiga egenskaper.
Den anda i vilken vi utforskar ytor i den här kursen uppstår ur det sätt på vilket teorin om ytor förhåller sig till resten av topologin, vilket i sin tur återspeglas i dessa ämnens historia. När vi studerar ytor kan vi gå långt med intuitiva begrepp, och ämnet studeras ofta på det sättet. I dag kan vi vädja till dessa intuitioner och vara säkra på att de intuitivt tilltalande satserna kan bevisas på ett rigoröst sätt. De exakta definitioner och rigorösa bevis som förekommer i litteraturen innebär ofta subtila och svåra argument av ett slag som i övrigt inte hör hemma i geometrisk topologi och som kanske inte tillför mycket till vår förståelse av de underliggande begreppen.
Ett exempel är den s.k. Jordancurve Theorem, som hävdar att varje kurva i planet som är homeomorf till en cirkel delar planet i två områden, ett avgränsat (kurvans ”insida”) och ett obegränsat (utsidan); figur 2 visar en sådan kurva C i planet, med dess insida skuggad. Även om påståendet om Jordankurvans sats är helt rimligt – det är faktiskt grundläggande för många delar av matematiken – är satsen svår att bevisa. I själva verket är det troligt att få matematiker någonsin har sett ett bevis, eftersom sådana bevis bara bekräftar det vi redan tror. Det är naturligtvis bra att ha ett bevis, men vi anser inte att det är nödvändigt att bevisa alla resultat i den här kursen. En undersökning av beviset för Jordancurve Theorem avslöjar inga särskilt kontraintuitiva komplikationer, och därför utelämnar vi beviset.
I den här kursen anger vi när begrepp ska förstås på en intuitiv nivå, och när det krävs mer exakta definitioner, teorem och bevis. När det är möjligt ger vi rigorösa definitioner och bevis.