Du kanske minns från algebra och kalkyl att en funktion kan vara ett till ett och på, och att dessa egenskaper är relaterade till om funktionen är inverterbar eller inte. Vi går nu igenom dessa viktiga idéer. I avancerad matematik används ofta ordet injektiv i stället för one-to-one och surjektiv i stället för onto. Här är de exakta definitionerna:

Nedan följer en visuell beskrivning av definition 12.4. I huvudsak betyder injektiv att ojämna element i A alltid skickas till ojämna element i B. Surjektiv betyder att varje element i B har en pil som pekar på det, det vill säga att det är lika med f(a) för en viss a i f:s domän.

Det finns fyra möjliga injektiva/surjektiva kombinationer som en funktion kan besitta. Detta illustreras nedan för fyra funktioner \(A \rightarrow B\). Funktionerna i den första kolumnen är injektiva, funktionerna i den andra kolumnen är inte injektiva. Funktioner i den första raden är surjektiva, de i den andra raden är det inte.

Vi noterar i förbigående att enligt definitionerna är en funktion surjektiv om och endast om dess kodomän är lika med dess område.

Hur man visar att en funktion \(f : A \rightarrow B\) är injektiv:

Av dessa två tillvägagångssätt är kontrapositivet ofta det enklaste att använda, särskilt om f är definierad genom en algebraisk formel. Detta beror på att det kontrapositiva tillvägagångssättet börjar med ekvationen \(f(a) = f(a′)\) och fortsätter till ekvationen \(a = a’\). I algebra är det som bekant oftast lättare att arbeta med ekvationer än olikheter.

Hur man visar att en funktion \(f : A \rightarrow B\) är surjektiv:

Supposera \(b \in B\).

Övningsuppgift \(\PageIndex{1}\)

Låt \(A= \{1,2,3,4\}\\) och \(B = \{a,b,c\}\). Ge ett exempel på en funktion \(f : A \rightarrow B\) som varken är injektiv eller surjektiv.

Övning \(\PageIndex{2}\)

Övning \(\PageIndex{3}\)

Övning \(\PageIndex{4}\)

Övning \(\PageIndex{5}\)

Övning \(\PageIndex{5}\)

Övning \(\PageIndex{6}\)

Övning \(\PageIndex{7}\)

Övning \(\PageIndex{8}\)

Övning \(\PageIndex{9}\)

Bevisa att funktionen \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) definierad genom \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) är bijektiv.

Övningsuppgift \(\PageIndex{10}\)

Bevisa att funktionen \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) definierad genom \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) är bijektiv.

Övning \(\PageIndex{11}\)

Övning \(\PageIndex{12}\)

Övning \(\PageIndex{13}\)

Övning \(\PageIndex{14}\)

Övning \(\PageIndex{14})

Övning \(\PageIndex{15}\)

Övning \(\PageIndex{16}\)

Övning \(\PageIndex{17}\)

Övning \(\PageIndex{18}\)

Bevisa att funktionen \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) definierad som \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) är bijektiv.