Două spații topologice (X, TX) și (Y, TY) sunt homeomorfe dacă există o bijecție f : X → Y care este continuă și a cărei inversă f-1 este de asemenea continuă, în raport cu topologiile date; o astfel de funcție f se numește homeomorfism. Relația „este homeomorfă cu” între spații topologice este cea mai fundamentală relație din topologie, deoarece două spații topologice care sunt homeomorfe sunt imposibil de distins din punct de vedere topologic – sunt echivalente din punct de vedere topologic. O definiție alternativă a homeomorfismului este aceea că o bijecție f : X → Y este un homeomorfism dacă și numai dacă atât f, cât și f-1 reprezintă o corespondență între seturi deschise și seturi deschise. Astfel, dacă (X, TX) și (Y, TY) sunt homeomorfe, atunci nu numai că elementele din X și Y sunt în corespondență unu la unu, ci și ansamblurile lor deschise. Astfel, putem considera că (Y, TY) este în esență același spațiu ca și (X, TX), în ceea ce privește proprietățile sale pur topologice: (X, TX) și (Y, TY) sunt doar două moduri diferite de prezentare a aceluiași spațiu.
Prin urmare, este util să se poată determina dacă două spații topologice date sunt homeomorfe. Desigur, dacă putem găsi un homeomorfism specific între ele, atunci întrebarea are un răspuns; dar dacă nu reușim să găsim un homeomorfism, atunci nu putem deduce că nu există unul. Așadar, căutarea unui anumit homeomorfism poate să nu fie cea mai bună abordare. Ceea ce ne dorim sunt criterii care să ne permită să spunem dacă două suprafețe date sunt homeomorfe fără a fi nevoie să încercăm să construim un homeomorfism specific între ele.
O situație similară, care poate ajuta la clarificarea a ceea ce este implicat, este următoarea. O hartă între spații metrice care păstrează distanțele se numește izometrie, iar două subseturi ale unui spațiu metric care sunt legate printr-o izometrie sunt în esență aceleași, în ceea ce privește proprietățile lor metrice. De exemplu, considerăm colecția de elipse din 
2, cu metrica euclidiană. Două elipse sunt izometrice dacă și numai dacă lungimile axelor lor majore sunt identice, iar lungimile axelor lor minore sunt identice (a se vedea figura 1). Aceste două criterii ne permit să determinăm dacă două elipse date sunt izometrice fără a fi nevoie să construim o izometrie specifică între ele: trebuie doar să comparăm lungimile axelor lor. Spunem că lungimile axelor majoră și minoră clasifică elipsele în 2 până la izometrie.
Rețineți că, în fraza „clasifică elipsele în 2 până la izometrie”, am specificat clasa de figuri avute în vedere (elipsele în 2): criteriile noastre se aplică numai acestor figuri particulare din plan și nu pretindem că alte figuri pot fi clasificate până la izometrie într-un mod similar. Rețineți, de asemenea, importanța includerii calificativului „până la izometrie”, deoarece toate elipsele sunt homeomorfe.
În acest curs, sarcina noastră principală este de a defini o anumită clasă de suprafețe numite suprafețe compacte, și apoi de a preciza criteriile care ne permit să determinăm dacă două suprafețe compacte date sunt homeomorfe. Aceste suprafețe pot fi clasificate folosind doar trei criterii, după cum vom arăta. Într-adevăr, așa cum putem clasifica elipsele în 2 până la izometrie prin specificarea a doar două numere (lungimile axei majore și a axei minore), tot așa putem clasifica toate suprafețele compacte până la homeomorfism prin specificarea a doar trei numere. Teorema corespunzătoare – teorema de clasificare – este enunțată mai târziu în acest curs. Înainte de a enunța Teorema de clasificare, dăm exemple de suprafețe, arătăm cum pot fi manipulate, definite și reprezentate și examinăm unele dintre proprietățile lor importante.
Spiritul în care explorăm suprafețele în acest curs rezultă din modul în care teoria suprafețelor se raportează la restul topologiei, iar acest lucru se reflectă, la rândul său, în istoria acestor subiecte. Atunci când studiem suprafețele putem avansa mult timp cu concepte intuitive, iar subiectul este adesea studiat în acest mod. În prezent, putem face apel la aceste intuiții, fiind siguri că teoremele atractive din punct de vedere intuitiv pot fi demonstrate în mod riguros. Într-adevăr, definițiile precise și demonstrațiile riguroase care apar în literatura de specialitate implică frecvent argumente subtile și dificile, de un tip care, de altfel, nu se potrivește cu topologia geometrică, și pot adăuga puțin la înțelegerea conceptelor de bază.
Un exemplu este așa-numita teoremă a curbei Jordan, care afirmă că orice curbă din plan care este homeomorfă cu un cerc împarte planul în două regiuni, una delimitată („interiorul” curbei) și cealaltă nemărginită (exteriorul); figura 2 arată o astfel de curbă C în plan, cu interiorul său umbrit. Deși enunțul teoremei curbei Jordan este complet plauzibil – într-adevăr, este fundamental pentru multe părți ale matematicii – teorema este dificil de demonstrat. De fapt, este probabil ca puțini matematicieni să fi văzut vreodată o demonstrație, deoarece astfel de demonstrații nu fac decât să confirme ceea ce credem deja. Este bine să avem o demonstrație, bineînțeles, dar nu considerăm că este esențial să demonstrăm toate rezultatele din acest curs. Examinarea demonstrației teoremei teoremei curbei lui Jordan nu relevă complicații deosebit de contraintuitive, așa că omitem demonstrația.
În acest curs indicăm când conceptele trebuie să fie înțelese la un nivel intuitiv și când sunt necesare definiții, teoreme și demonstrații mai precise. Acolo unde este posibil, oferim definiții și demonstrații riguroase.
.