Vă amintiți probabil din algebră și calcul că o funcție poate fi unu-la-unu și onto, iar aceste proprietăți sunt legate de faptul că funcția este sau nu inversabilă. Trecem acum în revistă aceste idei importante. În matematica avansată, cuvântul injectiv este adesea folosit în loc de unu-la-unu, iar cuvântul surjectiv este folosit în loc de onto. Iată definițiile exacte:

Mai jos este o descriere vizuală a definiției 12.4. În esență, injectiv înseamnă că elementele inegale din A sunt întotdeauna trimise la elemente inegale din B. Surjectiv înseamnă că fiecare element din B are o săgeată îndreptată spre el, adică este egal cu f(a) pentru un anumit a din domeniul lui f.

Există patru combinații injective/surjective posibile pe care le poate avea o funcție. Acest lucru este ilustrat mai jos, pentru patru funcții \(A \rândul B\). Funcțiile din prima coloană sunt injective, cele din a doua coloană nu sunt injective. Funcțiile din primul rând sunt surjective, cele din al doilea rând nu sunt.

Reținem în treacăt că, în conformitate cu definițiile, o funcție este surjectivă dacă și numai dacă codominiul său este egal cu domeniul său.

Cum să arătăm că o funcție \(f : A \rândul B\) este injectivă:

Dintre aceste două abordări, contrapoziția este adesea cea mai ușor de utilizat, mai ales dacă f este definită printr-o formulă algebrică. Acest lucru se datorează faptului că abordarea contrapozitivă începe cu ecuația \(f(a) = f(a′)\) și continuă cu ecuația \(a = a’\). În algebră, după cum știți, este de obicei mai ușor să lucrezi cu ecuații decât cu inegalități.

Cum să arătăm că o funcție \(f : A \ dreapta în B\) este surjectivă:

Supuneți că \(b \ în B\).

Exercițiu \(\PageIndex{1}\)

Să fie \(A= \{1,2,3,3,4\}\) și \(B = \a,b,c\}\). Dați un exemplu de funcție \(f : A \rightarrow B\) care nu este nici injectivă, nici surjectivă.

Exercițiu \(\PageIndex{2}})

Exercițiu \(\PageIndex{3})

Exercițiu \(\PageIndex{4})

Exercițiu \(\PageIndex{5})

Exercițiu \(\PageIndex{5})

Exercițiu \(\PageIndex{6})

Exercițiu \(\PageIndex{7})

Exercițiu \(\PageIndex{8})

Exercițiu \(\PageIndex{9})

Demonstrați că funcția \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}}\) definită prin \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) este bijectivă.

Exercițiu \(\PageIndex{10}\)

Demonstrați că funcția \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) definită prin \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) este bijectivă.

Exercițiu \(\PageIndex{11}\)

Exercițiu \(\PageIndex{12}\)

Exercițiu \(\PageIndex{13}\)

Exercițiu \(\PageIndex{14}\)

Exercițiu \(\PageIndex{15})

Exercițiu \(\PageIndex{16})

Exercițiu \(\PageIndex{17})

Exercițiu \(\PageIndex{18})

Demonstrați că funcția \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) definită ca \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) este bijectivă.