Você pode lembrar da álgebra e do cálculo que uma função pode ser um-para-um e sobre, e estas propriedades estão relacionadas a se a função é ou não invertível. Nós agora revisamos estas importantes idéias. Na matemática avançada, a palavra injectiva é frequentemente usada em vez de um-para-um, e a palavra sobrejectiva é usada em vez de onto. Aqui estão as definições exactas:

Below é uma descrição visual da Definição 12.4. Em essência, injectivo significa que elementos desiguais em A são sempre enviados para elementos desiguais em B. Surjectivo significa que cada elemento de B tem uma seta apontando para ele, ou seja, é igual a f(a) para alguns a no domínio de f.

Existem quatro combinações injectivo/surjectivo possíveis que uma função pode possuir. Isto é ilustrado abaixo para quatro funções \\(A \i1}rightarrow B\). As funções da primeira coluna são injectivas, as da segunda coluna não são injectivas. Funções na primeira linha são subjetivas, aquelas na segunda linha não são.

Notemos de passagem que, de acordo com as definições, uma função é subjetiva se e somente se o seu codomínio for igual ao seu intervalo.

Como mostrar uma função \(f : A \rightarrow B\) é injectivo:

Destas duas abordagens, o contrapositivo é muitas vezes o mais fácil de usar, especialmente se f for definido por uma fórmula algébrica. Isto porque a abordagem contrapositiva começa com a equação \(f(a) = f(a′)\) e prossegue para a equação \(a = a’\). Em álgebra, como você sabe, normalmente é mais fácil trabalhar com equações do que com desigualdades.

Como mostrar uma função \\(f : A \i(f : A \i(a)) é sobrejectivo:

Suponha \i(b \i(b) em B\i(a)).

Exercício {1}(PageIndex{1})

Let {1,2,3,4}(A= {1,2,3,4}}) e {B = {a,b,c}). Dê um exemplo de uma função (f : A {\a10}) que não é injectiva nem surjectiva.

Exercício \i(PáginaIndex{2})

Exercício \i(PáginaIndex{3})

Exercício \i(PáginaIndex{4})

Exercício \i(PáginaIndex{5})

Exercício \mathbb{R}-{2}-{5}) definida por {f(f(x)= |frac{5x+1}{x-2}) é bijectiva.

Exercício

>

Prova a função {\i1}(f : {\i1}mathbb{R}-{\i1}-{\i1}{\i1}{\i1}mathbb{R}-{\i}) definida por {\i(f(x) = (f(x+1}{x-1}{x-1})^{3}é bijectivo.

Exercício \\(\PageIndex{11})

Exercício \(\PageIndex{12})

Exercício \(\PageIndex{13})

Exercício \(\PageIndex{14})

Exercício \Exercício (PageIndex{15})

Exercício (PageIndex{16})

Exercício (PageIndex{17})

Exercício (PageIndex{18})

Prove que a função { f : \mathbb{N} {Z}) definida como {(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}} é bijectiva.