U herinnert zich wellicht uit de algebra en de calculus dat een functie één-op-één en onto kan zijn, en dat deze eigenschappen samenhangen met het al dan niet inverteerbaar zijn van de functie. We overlopen nu deze belangrijke ideeën. In de geavanceerde wiskunde wordt vaak het woord injectief gebruikt in plaats van één-op-één, en surjectief in plaats van onto. Dit zijn de exacte definities:
Hieronder volgt een visuele beschrijving van Definitie 12.4. In essentie betekent injectief dat ongelijke elementen in A altijd naar ongelijke elementen in B worden gestuurd. Surjectief betekent dat elk element van B een pijl heeft die ernaar wijst, dat wil zeggen dat het gelijk is aan f(a) voor een of andere a in het domein van f.
Er zijn vier mogelijke injectief/surjectief-combinaties die een functie kan bezitten. Dit wordt hieronder geïllustreerd voor vier functies (A). Functies in de eerste kolom zijn injectief, die in de tweede kolom zijn niet injectief. Functies in de eerste rij zijn surjectief, die in de tweede rij niet.
Terloops merken we op dat, volgens de definities, een functie surjectief is als en slechts als haar codomein gelijk is aan haar bereik.
Hoe toont men aan dat een functie(f : A) injectief is:
Van deze twee benaderingen is de contrapositieve vaak het gemakkelijkst te gebruiken, vooral als f gedefinieerd is door een algebraïsche formule. Dat komt omdat de contrapositieve benadering begint met de vergelijking f(a) = f(a′)en dan verder gaat naar de vergelijking a = a′. In de algebra is het, zoals je weet, meestal gemakkelijker om met vergelijkingen te werken dan met ongelijkheden.
Hoe toon je aan dat een functie (f : A rijn B) surjectief is:
Voorstel (b in B).
Oefening (pagina-index{1})
Laat \(A= \{1,2,3,4}}) en \(B = \{a,b,c}}). Geef een voorbeeld van een functie f : A = B = A) die noch injectief noch surjectief is.
Oefening (\PaginaIndex{2})
Oefening \(\PaginaIndex{3})
Oefening \(\PaginaIndex{4})
Oefening \(\PaginaIndex{5})
Oefening \(\PaginaIndex{5})
Oefening \Oefen (\PaginaIndex{6})
Oefen \(\PaginaIndex{7})
Oefen \(\PaginaIndex{8})
Oefen \(\PaginaIndex{9})
Overtuig dat de functie \(f : \mathbb{R}-\{2}}) gedefinieerd door \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}}) bijectief is.
Oefening \(\PageIndex{10})
Ontdek dat de functie \(f : \mathbb{R}-{1}} \rightarrow \mathbb{R}-{1}}) gedefinieerd door \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}}) bijectief is.
Uitoefening \(\PageIndex{11})
Uitoefening \(\PageIndex{12})
Uitoefening \(\PageIndex{13})
Uitoefening \(\PageIndex{14})
Uitoefening \(\PageIndex{14})
\Oefen (\PaginaIndex{15})
Oefen \(\PaginaIndex{16})
Oefen \(\PaginaIndex{17})
Oefen \(\PaginaIndex{18})
Overtuig dat de functie \(f : \mathbb{N} \mathbb{Z}}) gedefinieerd als \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}}) bijectief is.