Due spazi topologici (X, TX) e (Y, TY) sono omeomorfi se esiste una biiezione f : X → Y che è continua, e la cui inversa f-1 è anch’essa continua, rispetto alle topologie date; una tale funzione f è detta omeomorfismo. La relazione “è omeomorfo a” tra spazi topologici è la relazione più fondamentale in topologia, perché due spazi topologici che sono omeomorfi sono indistinguibili da un punto di vista topologico – sono topologicamente equivalenti. Una definizione alternativa di omeomorfismo è che una biiezione f : X → Y è un omeomorfismo se e solo se sia f che f-1 mappano insiemi aperti in insiemi aperti. Così, se (X, TX) e (Y, TY) sono omeomorfi, allora non solo gli elementi di X e Y sono in corrispondenza uno a uno, ma lo sono anche i loro insiemi aperti. Possiamo quindi considerare (Y, TY) come essenzialmente lo stesso spazio di (X, TX), per quanto riguarda le sue proprietà puramente topologiche: (X, TX) e (Y, TY) sono semplicemente due modi diversi di presentare lo stesso spazio.
È quindi utile poter determinare se due spazi topologici dati sono omeomorfi. Naturalmente, se possiamo trovare un omeomorfismo specifico tra loro, allora la domanda ha una risposta; ma se non riusciamo a trovare un omeomorfismo, allora non possiamo dedurre che non ce ne sia uno. Quindi cercare un particolare omeomorfismo potrebbe non essere l’approccio migliore. Quello che vogliamo sono criteri che ci permettano di dire se due superfici date sono omeomorfe senza che noi dobbiamo cercare di costruire un omeomorfismo specifico tra loro.
Una situazione simile, che può aiutare a chiarire di cosa si tratta, è la seguente. Una mappa tra spazi metrici che conserva le distanze si chiama isometria, e due sottoinsiemi di uno spazio metrico che sono legati da un’isometria sono essenzialmente gli stessi, per quanto riguarda le loro proprietà metriche. Per esempio, si consideri la collezione di ellissi in 
2, con la metrica euclidea. Due ellissi sono isometriche se e solo se le lunghezze dei loro assi maggiori sono uguali e le lunghezze dei loro assi minori sono uguali (vedi figura 1). Questi due criteri ci permettono di determinare se due ellissi date sono isometriche senza dover costruire un’isometria specifica tra loro: confrontiamo semplicemente le lunghezze dei loro assi. Diciamo che le lunghezze degli assi maggiore e minore classificano le ellissi in 2 fino all’isometria.
Si noti che, nella frase ‘classifichiamo le ellissi in 2 fino all’isometria’, abbiamo specificato la classe di figure in esame (le ellissi in 2): i nostri criteri si applicano solo a queste particolari figure nel piano, e non affermiamo che altre figure possano essere classificate fino all’isometria in modo simile. Si noti anche l’importanza di includere la qualifica ‘fino all’isometria’, poiché tutte le ellissi sono omeomorfe.
In questo corso, il nostro compito principale è definire una certa classe di superfici chiamate superfici compatte, e poi specificare i criteri che ci permettono di determinare se due date superfici compatte sono omeomorfe. Queste superfici possono essere classificate usando solo tre criteri, come mostreremo. Infatti, così come possiamo classificare le ellissi in 2 fino all’isometria specificando solo due numeri (le lunghezze degli assi maggiore e minore), così possiamo classificare tutte le superfici compatte fino all’omeomorfismo specificando solo tre numeri. Il teorema appropriato – il Teorema di classificazione – viene enunciato più avanti in questo corso. Prima di enunciare il Teorema di Classificazione, diamo esempi di superfici, mostriamo come possono essere manipolate, definite e rappresentate, ed esaminiamo alcune delle loro importanti proprietà.
Lo spirito con cui esploriamo le superfici in questo corso nasce dal modo in cui la teoria delle superfici si relaziona con il resto della topologia, e questo a sua volta si riflette nella storia di questi argomenti. Quando si studiano le superfici si può procedere a lungo con concetti intuitivi, e l’argomento è spesso studiato in questo modo. Oggi possiamo fare appello a queste intuizioni, sicuri di sapere che i teoremi intuitivi possono essere dimostrati rigorosamente. In effetti, le definizioni precise e le prove rigorose che appaiono in letteratura implicano spesso argomentazioni sottili e difficili di un tipo altrimenti non consono alla topologia geometrica, e possono aggiungere poco alla nostra comprensione dei concetti sottostanti.
Un esempio è il cosiddetto Teorema della Curva di Jordan, che afferma che qualsiasi curva nel piano che sia omeomorfa a un cerchio divide il piano in due regioni, una delimitata (l'”interno” della curva) e l’altra non delimitata (l'”esterno”); la Figura 2 mostra una tale curva C nel piano, con il suo interno ombreggiato. Sebbene l’affermazione del teorema della curva di Jordan sia del tutto plausibile – anzi, è fondamentale per molte parti della matematica – il teorema è difficile da dimostrare. Infatti, è probabile che pochi matematici abbiano mai visto una prova, perché tali prove confermano semplicemente ciò che già crediamo. È bene avere una dimostrazione, naturalmente, ma non consideriamo essenziale dimostrare tutti i risultati in questo corso. Esaminando la dimostrazione del Teorema della Curva di Jordan non emergono complicazioni particolarmente controintuitive, e quindi omettiamo la dimostrazione.
In questo corso indichiamo quando i concetti devono essere compresi a livello intuitivo e quando sono necessarie definizioni, teoremi e prove più precise. Dove possibile, forniamo definizioni e prove rigorose.