Dall’algebra e dal calcolo si può ricordare che una funzione può essere uno-a-uno e onto, e queste proprietà sono legate al fatto che la funzione sia invertibile o meno. Rivediamo ora queste importanti idee. Nella matematica avanzata, la parola iniettiva è spesso usata al posto di uno-a-uno, e surgiettiva è usata al posto di onto. Ecco le definizioni esatte:

Di seguito una descrizione visiva della definizione 12.4. In sostanza, iniettivo significa che gli elementi disuguali in A vengono sempre inviati a elementi disuguali in B. Surgiettivo significa che ogni elemento di B ha una freccia che punta ad esso, cioè è uguale a f(a) per qualche a nel dominio di f.

Ci sono quattro possibili combinazioni iniettive/surgiettive che una funzione può avere. Questo è illustrato di seguito per quattro funzioni \(A \destra B \). Le funzioni nella prima colonna sono iniettive, quelle nella seconda colonna non sono iniettive. Le funzioni nella prima riga sono surgiettive, quelle nella seconda riga no.

Si noti che, secondo le definizioni, una funzione è surgiettiva se e solo se il suo codominio è uguale al suo intervallo.

Come dimostrare che una funzione \(f : A \rightarrow B\) è iniettiva:

Di questi due approcci, il contrapositivo è spesso il più facile da usare, specialmente se f è definita da una formula algebrica. Questo perché l’approccio contrapositivo inizia con l’equazione \(f(a) = f(a′)\) e procede all’equazione \(a = a’\). In algebra, come sapete, di solito è più facile lavorare con le equazioni che con le disuguaglianze.

Come dimostrare che una funzione \(f : A \rightarrow B\) è surgiettiva:

Supponiamo \(b \in B\).

Esercizio \(\PageIndex{1}})

Lascia che \(A= \1,2,3,4\) e \(B = \a,b,c\). Dare un esempio di una funzione \(f : A \destra B\) che non è né iniettiva né surgiettiva.

Esercitazione \(\PageIndex{2})

Esercitazione \(\PageIndex{3})

Esercitazione \(\PageIndex{4})

Esercitazione \(\PageIndex{5})

Esercitazione \(\PageIndex{6})

Esercitazione \(\PageIndex{7})

Esercitazione \(\PageIndex{8})

Esercitazione \(\PageIndex{9})

Provare che la funzione \(f : \mathbb{R}-{2} \destra \mathbb{R}-{5\}) definita da \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}) è biiettiva.

Esercizio \(\PageIndex{10})

Verifica che la funzione \(f : \mathbb{R}-{1\}} \mathbb{R}-{1\}) definita da \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}}) è biiettiva.

Esercizio \(\PageIndex{11}})

Esercizio \(\PageIndex{12})

Esercizio \(\PageIndex{13})

Esercizio \(\PageIndex{14})

Esercizio \(\PageIndex{15})

Esercitazione \(\PageIndex{16})

Esercitazione \(\PageIndex{17})

Esercitazione \(\PageIndex{18})

Provare che la funzione \(f : \mathbb{N} \mathbb{Z}) definita come \(f (n) = \frac(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}) è biiettiva.