Homomorfizmus, (a görög homoios morphe, “hasonló forma”), két algebrai rendszer, például két csoport, két gyűrű vagy két mező tagjai (elemei) közötti speciális megfeleltetés. Két homomorf rendszer azonos alapszerkezettel rendelkezik, és bár elemeik és műveleteik teljesen különbözőnek tűnhetnek, az egyik rendszerre vonatkozó eredmények gyakran a másik rendszerre is érvényesek. Így ha egy új rendszerről kimutatható, hogy homomorf egy ismert rendszerrel, akkor az egyik rendszer bizonyos ismert tulajdonságai a másikra is alkalmazhatók, ami leegyszerűsíti az új rendszer elemzését.

A homomorfizmusban két rendszer megfelelő elemei nagyon hasonlóan viselkednek más megfelelő elemekkel kombinálva. Legyen például G és H csoportok. A G elemeit g, g′,… jelölik, és valamilyen ⊕ műveletnek vannak alávetve. (Bár a szimbólumra gondolhatunk úgy, mint valamilyen műveletre, például szorzásra, a szimbólum ugyanúgy jelölheti a forgást vagy valamilyen más, nem aritmetikai műveletet is.) Hasonlóan, a H elemeit h, h′,… jelölik, és valamilyen ⊗ műveletnek vannak alávetve. Egy homomorfizmus G-ből H-ba olyan g → h megfeleltetés G összes eleme és H egyes elemei között, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik: ha g → h és g′ → h′, akkor g ⊕ g′ → h ⊗ h′. Más szóval, a H eleme, amely G elemeinek szorzatának felel meg, azonos sorrendben a G két elemének megfelelő H elemeinek szorzata. Kompaktabban kifejezve, a szorzat “képe” a képek szorzata, vagyis a megfeleltetés megőrzi a műveletet.

A két algebrai rendszer tagjai közötti megfeleltetés felírható egy f függvényként G-ből H-ba, és f-ről úgy beszélünk, mint G és H “leképezéséről”. Azt a feltételt, hogy f a G csoport homomorfizmusa legyen a H csoportra, úgy fejezhetjük ki, hogy f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′).

A homomorfizmusok feltételeket szabnak az f leképezésnek: ha e G azonossága, akkor g ⊕ e = g, tehát f(g ⊕ e) = f(g). Továbbá, mivel f homomorfizmus, f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e), tehát f(g) = f(g) ⊗ f(e). A csoportokra vonatkozó törlési törvények alapján ez azt jelenti, hogy f(e) egyenlő az azonossággal H-ban. Így a homomorfizmusok az egyik csoport egyetlen azonossági elemét a másik csoport egyetlen azonossági elemére képezik le. Hasonlóképpen, a homomorfizmusok az egyik csoport g elemének inverzét az f(g) elem inverzére képezik le. Ezért nevezik a homomorfizmusokat struktúrakarbantartó leképezéseknek.

A homomorfizmusok speciális típusainak saját nevük van. A G-ből H-ba való egy-egy homomorfizmust monomorfizmusnak nevezzük, az olyan homomorfizmust pedig, amely “onto”, azaz H minden elemére kiterjed, epimorfizmusnak nevezzük. Különösen fontos homomorfizmus az izomorfizmus, amelyben a G és H közötti homomorfizmus egy-egy és onto. Ez utóbbi esetben G és H lényegében ugyanaz a rendszer, és csak az elemeik nevében különböznek. A homomorfizmusok tehát hasznosak az algebrai rendszerek osztályozásában és felsorolásában, mivel lehetővé teszik annak megállapítását, hogy a különböző rendszerek milyen szoros kapcsolatban állnak egymással.