Homomorfizm, (z greckiego homoios morphe, „podobna forma”), specjalna zgodność między członami (elementami) dwóch systemów algebraicznych, takich jak dwie grupy, dwa pierścienie lub dwa pola. Dwa systemy homomorficzne mają tę samą podstawową strukturę, i choć ich elementy i operacje mogą wydawać się zupełnie różne, wyniki dotyczące jednego systemu często stosują się również do drugiego. Tak więc, jeśli nowy system można pokazać, że jest homomorficzny do znanego systemu, pewne znane cechy jednego z nich mogą być stosowane do drugiego, upraszczając w ten sposób analizę nowego systemu.

W homomorfizmie, odpowiadające elementy dwóch systemów zachowują się bardzo podobnie w połączeniu z innymi odpowiadającymi elementami. Na przykład, niech G i H będą grupami. Elementy G oznaczane są jako g, g′,…, i podlegają pewnej operacji ⊕. (Chociaż symbol ten może być rozumiany jako operacja mnożenia, to równie dobrze może on oznaczać obrót lub inną operację niearytmetyczną). Podobnie, elementy H oznaczamy przez h, h′,…, i podlegają one pewnej operacji ⊗. Homomorfizmem z G na H jest taka korespondencja g → h między wszystkimi elementami G i pewnymi elementami H, która ma następującą własność: jeśli g → h oraz g′ → h′, to g ⊕ g′ → h ⊗ h′. Innymi słowy, element H odpowiadający iloczynowi elementów w G jest iloczynem, w tym samym porządku, elementów H odpowiadających dwóm elementom w G. Wyrażając się bardziej zwięźle, „obrazem” iloczynu jest iloczyn obrazów, czyli korespondencja zachowuje operację.

Korespondencja między członkami dwóch systemów algebraicznych może być zapisana jako funkcja f z G do H, i mówi się o f jako o „odwzorowaniu” G na H. Warunek, by f była homomorfizmem grupy G do grupy H można wyrazić jako wymaganie, by f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′).

Homomorfizmy nakładają warunki na odwzorowanie f: jeśli e jest tożsamością G, to g ⊕ e = g, więc f(g ⊕ e) = f(g). Ponadto, ponieważ f jest homomorfizmem, f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e), więc f(g) = f(g) ⊗ f(e). Z praw anulowania dla grup wynika, że f(e) jest równe tożsamości w H. Zatem homomorfizmy odwzorowują unikalny element tożsamości jednej grupy na unikalny element tożsamości drugiej grupy. Podobnie, homomorfizmy odwzorowują odwrotność elementu g w jednej grupie na odwrotność elementu f(g). Dlatego homomorfizmy są nazywane mapami zachowującymi strukturę.

Specjalne typy homomorfizmów mają swoje własne nazwy. Homomorfizm jeden do jednego z G do H nazywa się monomorfizmem, a homomorfizm, który jest „na”, lub obejmuje każdy element H, nazywa się epimorfizmem. Szczególnie ważnym homomorfizmem jest izomorfizm, w którym homomorfizm z G do H jest zarówno jedno-, jak i onto. W tym ostatnim przypadku G i H są w zasadzie tym samym systemem, a różnią się tylko nazwami swoich elementów. Homomorfizmy są więc użyteczne w klasyfikowaniu i wyliczaniu systemów algebraicznych, ponieważ pozwalają określić, jak blisko siebie są różne systemy.