Differenciálegyenletek határértékproblémáinak megoldásainak integrál ábrázolásával kapcsolatos függvény.
A lineáris differenciálegyenlet határértékproblémájának Green-függvénye az egyenlet homogén peremfeltételeket kielégítő alapvető megoldása. A Green-függvény az adott differenciálegyenlet és a homogén peremfeltételek által generált differenciáloperátorral inverz integráloperátor kernele (vö. Kernel of an integral operator). A Green-függvény a homogén peremfeltételeket kielégítő inhomogén egyenlet megoldásait adja. A Green-függvény megtalálása a differenciáloperátor tulajdonságainak vizsgálatát a megfelelő integráloperátor hasonló tulajdonságainak vizsgálatára vezeti vissza.
Green-függvény közönséges differenciálegyenletekre.
Legyen $ L $a differenciáloperátor, amelyet a differenciálpolinom
$$ l = \ \sum _ {k = 0 } ^ { n } p _ {k} ( x)\frac{d ^ {k} y }{dx ^ {k} } ,\ \ a < x < b,$$
és a peremfeltételek $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \dots n $, ahol
$$ U _ {j} = \ \ \sum _ {k = 0 } ^ { n } \alpha _ {jk} y ^ {(} k) ( a) +\beta _ {jk} y ^ {(} k) ( b).$$
A $ L $ Green-függvénye az a $ G ( x, \xi ) $ függvény, amely kielégíti a következő feltételeket:
1) $ G ( x, \xi ) $ folytonos és $ x $ tekintetében $ n – 2 $ nagyságrendig $ x $ és $ \xi $ minden értékére a $ $ $ intervallumban folytonos deriváltakkal rendelkezik.
2) Bármely adott $ \xi $ra $ ( a, b) $ban $ a $ G ( x, \xi ) $függvénynek $ x $ tekintetében $ n $ nagyságrendű egyenletesen folytonos deriváltja van $ x $ tekintetében minden $ $ félintervallumban $ $ és az n – 1 $ nagyságrendű derivált megfelel a feltételnek
$$ \frac{\partial ^ {n – 1 } {\parciális x ^ {n – 1 } }G ( \xi + , \xi ) -\frac{\partial ^ {n – 1 } }{\partiális x ^ {n – 1 } }G ( \xi – , \xi ) = \ \ \frac{1}{p _ {n} ( \xi ) }$$
ha $ x = \xi $.
3) Minden egyes félintervallumban $ $ $ a $ G ( x, \xi ) $ függvénynek tekintett $ x $ függvénye kielégíti az $ l = 0 $ egyenletet és a $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \dots n $ peremfeltételeket.
Ha a $ Ly = 0 $ peremértékproblémának csak triviális megoldásai vannak, akkor $ L $-nek egy és csak egy Green-függvénye van . Bármilyen folytonos függvényre $ f $on $$ létezik a $ Ly = f $ peremértékprobléma megoldása, és ez kifejezhető a következő képlettel
$$ y ( x) = \ \ \int\limits _ { a } ^ { b } G ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi .$$
Ha az operátor $ L $ rendelkezik egy Green-függvénnyel $ G ( x, \xi ) $, akkor az adjungált operátor $ L ^ {*} $ szintén rendelkezik Green-függvénnyel, amely egyenlő $ \overline{ {G ( \xi , x) }}\; $. Különösen, ha $ L $ önadjungált ( $ L = L ^ {*} $), akkor $ G ( x, \xi ) = \overline{ {G ( \xi , x) }}\; $, azaz a Green-függvény ebben az esetben egy hermitiánus mag. Így az önadjungált másodrendű operátor $ L $ által generált valós együtthatójú differenciáloperátor
$$ l = \ \ \frac{d}{dx}\left ( p\frac{dy }{dx }{dx }\right ) +q ( x) y Green-funkciója,\ \ a < x < b,$$
és a peremfeltételek $ y ( a) = 0 $, $ y ( b) = 0 $az alábbiak szerint alakulnak:
$$ G ( x, \xi ) = \ \ \left \{\begin{array}{array}{ll}Cy _ {1} ( x) y _ {2} ( \xi ) &\textrm{ if } x \leq \xi , \\\Cy _ {1} ( \xi ) y _ {2} ( x) &\textrm{ if } x > \xi . \\\end{array} \right .$$
Itt $ y _ {1} ( x) $és $ y _ {2} ( x) $az $ l = 0 $egyenlet tetszőleges független megoldásai, amelyek kielégítik az $ y _ {1} $feltételeket. ( a) = 0 $, $ y _ {2} ( b) = 0 $; $ C = ^ {-} 1 $, ahol $ W $az $ y _ {1} $ és $ y _ {2} $ Wronski-determinánsa (Wronskian). Megmutatható, hogy $ C $független $ \xi $-tól.
Ha az operátor $ L $-nek van Green-függvénye, akkor a határponti sajátérték-probléma $ Ly = \lambda y $ egyenértékű az integrálegyenlettel $ y ( x) = \lambda \int _ {a} ^ {b} G ( x, \xi ) y ( \xi ) d \xi $, amelyre a Fredholm-elmélet alkalmazható (vö. még Fredholm-tételek). Emiatt a határértékproblémának $ Ly = \lambda y $ legfeljebb megszámlálható számú sajátértéke lehet $ \lambda _ {1} , \lambda _ {2} \dots $ véges határpontok nélkül. A konjugált problémának komplex-konjugált, azonos szorosságú sajátértékei vannak. Minden olyan $ \lambda $-ra, amely nem az $ L $ sajátértéke, megkonstruálható az $ L – \lambda I $ operátor $ G ( x, \xi , \lambda ) $ Zöld függvénye, ahol $ I $az azonossági operátor. A $ G ( x, \xi , \lambda ) $ függvény $ \lambda $ paraméterének meromorf függvénye; pólusai csak $ L $ sajátértékei lehetnek. Ha a $ \lambda _ {0} $ sajátértékének többszöröse egy, akkor
$$ G ( x, \xi , \lambda ) = \ \ \frac{u _ {0} ( x) \overline{ {v _ {0} ( \xi ) }}\; }{\lambda – \lambda _ {0} } +G _ {1} ( x, \xi , \lambda ),$$
melyben $ G _ {1} ( x, \xi , \lambda ) $ szabályos az $ \lambda _ {0} $ pont szomszédságában, és $ u _ {0} ( x) $ és $ v _ {0} ( x) $az $ L $ és $ L ^ {*} sajátfüggvényei. $, amelyek a $ \lambda _ {0} $ és $ \overline{ {\lambda _ {0} $ sajátértékeknek felelnek meg. }}}\\; $és úgy normalizálva, hogy
$$ \int\limits _ { a } ^ { { b } u _ {0} ( x) \overline{ {v _ {0} ( x) }}}\; dx = 1.$$
Ha $ G ( x, \xi , \lambda ) $ végtelen sok pólussal rendelkezik, és ha ezek csak első rendűek, akkor létezik egy teljes biortogonális rendszer
$$ u _ {1} ( x),\ u _ {2} ( x) ,\pontok ; \ \ \ v _ {1} ( x),\ v _ {2} ( x) \dots$$
az $ L $ és $ L ^ {*} sajátfüggvényei. $. Ha a sajátértékeket abszolút értékeik növekvő sorrendjében számozzuk, akkor az integrál
$$ I _ {R} ( x, f ) = \ \ \frac{1}{2 \pi i }\int\limits _ {| \lambda | = R } \ d \lambda\int\limits _ { a } ^ { b } G ( x, \xi , \lambda )f ( \xi ) d \xi$$
egyenlő a részösszeggel
$$ S _ {k} ( x, f ) = \ \ \sum _ {| \lambda _ {n} | < R }u _ {n} ( x)\int\limits _ { a } ^ { b } f ( \xi )\overline{ {v _ {n} ( \xi ) }}}\; \ d \xi$$
az $ f $ sajátfüggvényeinek $ L $ szerinti kiterjesztése. Az $ R $ pozitív számot úgy választjuk meg, hogy a $ G ( x, \xi , \lambda ) $ függvény $ \lambda $-ban szabályos legyen a $ | \lambda | = R $ körön. Egy szabályos peremérték-probléma és bármely darabosan sima függvény $ f $ esetén az $ a < x < b $ intervallumban az
$$ \lim\limits _ {R \rightarrow \infty } egyenlet
$$ \lim\limits _ {R \rightarrow \infty } \ I _ {R} ( x, f ) = \ {\frac{1}{2} } $$
érvényes, azaz konvergens sorozattá való bővítése lehetséges .
Ha az $ L – \lambda I $ operátor $ G ( x, \xi , \lambda ) $G green függvényének több pólusa van, akkor a fő része az $ L $ és $ L ^ {*} operátorok saját és adjungált függvényeinek kanonikus rendszereivel fejezhető ki. $.
A fent vizsgált esetben a $ Ly = 0 $ peremértékproblémának nincsenek nemtriviális megoldásai. Ha viszont léteznek ilyen nem triviális megoldások, akkor egy úgynevezett általánosított Green-függvényt vezetünk be. Létezzenek pl. pontosan $ m $lineárisan független megoldásai a $ Ly = 0 $ problémának. Ekkor egy általánosított Green-függvény $ \widetilde{G} ( x, \xi ) $ létezik, amely rendelkezik a közönséges Green-függvény 1) és 2) tulajdonságaival, kielégíti a peremfeltételeket $ x $ függvényeként, ha $ a < \xi < b $ és ezen kívül az egyenlet
$$ l _ {x} = -\sum _ {k = 1 } megoldása. ^ { m } \phi _ {k} ( x)\overline{ {v _ {k} ( \xi ) }}}\; .$$
Itt $ \{ v _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ a $ L ^ {*} y = 0 $ adjungált probléma lineárisan független megoldásainak rendszere, míg $ \{ \phi _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ a hozzá biortogonális folytonos függvények tetszőleges rendszere. Ekkor
$$ y ( x) = \ \ \int\limits _ { a } ^ { b } \widetilde{G} ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi$$
az $ Ly = f $határértékprobléma megoldása, ha az $ f $függvény folytonos és kielégíti a megoldhatósági kritériumot, azaz ortogonális minden $ v _ {k} $.
Ha $ \widetilde{G} _ {0} $ az $ L $ egyik általánosított Green-függvénye, akkor bármely más általánosított Green-függvény ábrázolható
$$$ \widetilde{G} ( x, \xi ) = \ \ \widetilde{G} _ {{0} ( x, \xi ) +\sum _ {k = 1 } ^ { m } u _ _ {k} ( x) \psi _ {k} ( \xi ),$$
hol $ \{ u _ {k} ( x) \} $az $ Ly = 0 $ probléma lineárisan független megoldásainak teljes rendszere, és $ \psi _ {k} ( \xi ) $egy tetszőleges folytonos függvények .
Zöld függvény parciális differenciálegyenletekhez.
1) Elliptikus egyenletek. Legyen $ A $az $ m $rendű elliptikus differenciáloperátor, amelyet a differenciálpolinom
$$ a ( x, D) = \ \sum _ {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x) D ^ \alpha $$$
egy $ \Omega \subset \mathbf R ^ {N} $ korlátos tartományban és a homogén peremfeltételek $ B _ {j} u = 0 $, ahol $ B _ {j} $a $ \Omega $ határán definiált együtthatókkal rendelkező peremoperátorok, amelyek a $ \Omega $ \partiális \Omega $ peremén definiáltak, amelyről feltételezzük, hogy eléggé sima. Egy $ G ( x, y) $ függvényt akkor nevezünk $ A $ Green függvénynek, ha bármely rögzített $ y \in \Omega $-ban lévő $ y \ esetén kielégíti a $ B _ {j} homogén peremfeltételeket. G ( x, y) = 0 $és ha általánosított függvénynek tekintve kielégíti az egyenletet
$$ a ( x, D)G ( x, y) = \ \ \delta ( x – y).$$
Sima együtthatókkal rendelkező operátorok és normál peremfeltételek esetén, amelyek biztosítják, hogy a homogén peremértékprobléma megoldása egyedi, létezik Green-függvény, és a peremértékprobléma $ Au = f $ megoldása ábrázolható a következő formában (vö. )
$$ u ( x) = \ \int\limits _ \Omega G ( x, y)f ( y) dy.$$
Egy ilyen esetben az $ x , y \in \overline \Omega \; $,
$$$ | G ( x, y) | \leq \ C | x – y | ^ {m – n } \ \ \ \textrm{ if } m < n,$$$
$$$ | G ( x, y) | \leq C + C | \mathop{\rm ln} | x – y | | | \ \ \textrm{ ha } m = n,$$
a Green-függvényre érvényesek, és ez utóbbi egyenletesen korlátos, ha $ m > n$.
A $ Au = \lambda u $ határponti sajátérték-probléma egyenértékű az integrálegyenlettel
$$ u ( x) = \ \lambda \int\limits _ \Omega G ( x, y) u ( y) dy,$$
amelyre a Fredholm-elmélet (vö. ) alkalmazható (vö. Fredholm-tételek). Itt az adjungált peremértékprobléma Green-függvénye $ \overline{ {G ( y, x) }}\; $. Ebből különösen az következik, hogy a sajátértékek száma legfeljebb megszámlálható, és nincsenek véges határpontok; az adjungált peremértékproblémának komplex-konjugált sajátértékei vannak, amelyek azonos multiplicitásúak.
A Green-függvényt alaposabban tanulmányozták másodrendű egyenletek esetében, mivel az alapmegoldás szingularitásának jellege explicit módon leírható. Így a Laplace-operátor esetében a Green-függvény a következő alakú
$$ G ( x, y) = \ – \frac{\Gamma ( n / 2) }{2 \pi ^ {n/2} ( n – 2) }| x – y | ^ {2 – n } +\gamma ( x, y) \ \ \ \textrm{ if } n > 2,$$
$$ G ( x, y) = + \frac{1}{2 \pi } \mathop{\rm ln} | x – y | + \gamma ( x, y) \ \ \textrm{ if } n = 2,$$
ahol $ \gamma ( x, y) $ egy harmonikus függvény $ \Omega $-ban, amelyet úgy választunk ki, hogy a Green-függvény kielégítse a peremfeltételt.
Egy sima együtthatókkal rendelkező másodrendű elliptikus operátor $ a ( x, D) $ első határértékproblémájának $ G ( x, y) $G Zöld-függvénye $ G ( x, y) $egy Ljapunov-típusú határral $ \partiális \Omega $ rendelkező tartományban $ \Omega $, lehetővé teszi a probléma megoldásának kifejezését
$$$ a ( x, D) u( x) = \ f ( x) \ \ \textrm{ ha } \ \ x \in \Omega ,\ \ \ \ \ balra . u \right | _ _ {\partiális \Omega } = \phi ,$$$
az alakban
$$$ u ( x) = \ \ \int\limits _ \Omega G ( x, y) f ( y) dy +\int\limits _ {\partiális \Omega }\frac \partiális {\partiális \nu _ {y} }G ( x, y) \phi ( y) d \sigma _ {y} ,$$
melyben $ \partial / \partial \nu _ {y} $az operátor $ a ( x, D) $ kifelé irányuló együtthatójának deriváltja, $ d \sigma _ {y} $ pedig a $ \partial \Omega $ felületének eleme.
Ha a $ Au = 0 $ homogén peremfeltételnek nem triviális megoldásai vannak, akkor a közönséges differenciálegyenletekhez hasonlóan egy általánosított Green-függvényt vezetünk be. Így a Laplace-operátorra egy általánosított Green-függvény, az úgynevezett Neumann-függvény , áll rendelkezésre.
2) Parabolikus egyenletek. Legyen $ P $az $ m $ rendű parabolikus differenciáloperátor, amelyet a differenciálpolinom
$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\ \ \frac \partial {\partial t } \right ) = \ \ \frac \partial {\partial t } \right ) generál. -\sum _ {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x, t) D _ {x} ^ \alpha ,$$
$$ x \in \Omega ,\ t > 0,$$
és a homogén kezdeti és peremfeltételek
$$ u ( x, 0) = 0,\ \ B _ {j} u ( x, t) = 0,$$
amelyben $ B _ {j} $ olyan peremoperátorok, amelyek együtthatói $ x \in \partiális \Omega $ és $ t \geq 0 $ esetén meghatározottak. A $ P $ operátor Green-függvénye egy olyan $ G ( x, t, y, \tau ) $függvény, amely tetszőleges fix $ ( y , \tau ) $val $ t > \tau \geq 0 $és $ y \in \Omega $megfelel a $ B _ {j} = 0 $ homogén peremfeltételeknek, valamint kielégíti az egyenletet
$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\ \ \frac \partial {\partial t }\right )G ( x, t, y, \tau ) = \ \ \delta ( x – y , t – \tau ) .$$
Sima együtthatókkal és normális peremfeltételekkel rendelkező operátorok esetén, ami biztosítja a feladat $ pu = 0 $ megoldásának egyediségét, létezik Green-függvény, és az egyenlet megoldása
$$ p \left (x, t, D _ {x} ,\ \ \frac \partial {\partial t }\right )u ( x, t) = \ f ( x, t)$$
a homogén peremfeltételeket és a kezdeti feltételeket kielégítő $ u ( x, 0) = \phi ( x) $, a következő alakú
$$ u ( x, t) = \ \ \int\limits _ { 0 } ^ { t } \ d \tau \int\limits _ \Omega G ( x, t, y, \tau )f ( y, \tau ) dy +$$
$$ + \int\limits _ \Omega G ( x, t, y, 0) \phi ( y) dy.$$$
Az elliptikus vagy parabolikus rendszerek vizsgálatánál a Green-függvényt a Green-mátrix fogalmával helyettesítjük, amelynek segítségével az ilyen rendszerek homogén peremfeltételekkel rendelkező peremértékproblémáinak megoldásait a Green-mátrixnak a jobb oldali vektorokkal és a kezdeti feltételekkel alkotott szorzatainak integráljaiként fejezzük ki .
A Green-függvények G. Green (1828) után kapták a nevüket, aki a potenciálelméletről szóló tanulmányaiban elsőként tanulmányozta az ilyen függvények egy speciális esetét.
| M.A . Naimark, “Lineare Differentialoperatoren” , Akademie Verlag (1960) (Oroszból fordítva) MR0216049 | |
| M.V. Keldysh, “On the characteristic values and characteristic functions of certain classes of non-self-adjoint equations” Dokl. Akad. Nauk. SSSR , 77 : 1 (1951) pp. 11-14 (Oroszul) | |
| V.V. Sobolev, “Course in theoretical astrophysics” , NASA , Washington, D.C. (1969) (Fordítás oroszból) | |
| L. Bers, F. John, M. Schechter, “Parciális differenciálegyenletek” , Interscience (1964) MR0163043 Zbl 0126.00207 | |
| L. Gårding, “Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations” Math. Scand. , 1 : 1 (1953) pp. 55-72 MR64979 | |
| A. Friedman, “Partial differential equations of parabolic type” , Prentice-Hall (1964) MR0181836 Zbl 0144.34903 | |
| S.D. Eidel’man, “Parabolic systems” , North-Holland (1969) (Fordítás oroszból) Zbl 0181.37403 |
| J.K. Hale, “Ordinary differential equations” , Wiley (1980) MR0587488 Zbl 0433.34003 | |
| P.R. Garabedian, “Partial differential equations” , Wiley (1964) MR0162045 Zbl 0124.30501 |
Green function in function theory.
A komplex változó függvényeinek elméletében (valós) Green-függvény alatt a Laplace-operátor első peremérték-problémájának Green-függvényét értjük, azaz egy olyan függvényt, amelynek típusa
$$ \tag{1 }G ( z, z _ {0} ) = \ \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| z – z _ {{0} | } +\gamma ( z, z _ {0} ),\ \ \ z \in \Omega ,$$$
hol $ z = x + iy $a komplex változó, $ z _ {0} = x _ {0} + iy _ {0} $a Green-függvény pólusa, $ z _ {0} \in \Omega $, és $ \gamma ( z, z _ {0} ) $ a $ z $ harmonikus függvénye, amely $ – \mathop{\rm ln} 1/ | z – z _ {0} | $ a határon $ \partiális \Omega $. Legyen az $ \Omega $ tartomány egyszerűen összefüggő, és legyen $ w = f ( z, z _ {0} ) $az az analitikus függvény, amely megvalósítja $ \Omega $ konformális leképezését az egységkorongra úgy, hogy $ z _ {0} $a korong középpontjába esik, és úgy, hogy $ f ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, $ f ^ { \prime } ( z _ { {0} , z _ {0} ) > 0 $.
akkor
$$ \tag{2 }G ( z, z _ {0} ) = \ \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| f ( z, z _ {0} ) | } .$$
Ha $ H ( z, z _ {0} ) $ a $ G ( z, z _ {0} ) $-val konjugált harmonikus függvény, $ H ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, akkor az analitikus függvény $ F ( z, z _ {0} ) = G ( z, z _ {0} ) + iH ( z, z _ {0} ) $ a $ \Omega $ komplex Green függvényének mondható $ z _ {0} $ pólussal. A (2) képlet megfordításával megkapjuk
$$ \tag{3 }f ( z, z _ { {0} ) = \ e ^ e ^ {- F ( z, z _ {0} ) } } .$$
A (2) és (3) képletek azt mutatják, hogy a $ \Omega $ korongra való konformális leképezésének és a Green-függvény megtalálásának problémája egyenértékű. A $ G ( z, z _ {0} ) $, $ F ( z, z _ {0} ) $ Green-függvények konformális leképezések alatt invariánsak, ami néha megkönnyítheti azonosításukat (lásd leképezési módszer).
A Riemann-felületek elméletében kényelmesebb a Green-függvényeket az (1) függvényre érvényes minimumtulajdonság segítségével definiálni: Egy $ \Omega $ Riemann-felületen $ U ( z, z _ {0} ) $azok a függvények közül, amelyek $ z \neq z _ {0} $ esetén pozitívak és harmonikusak, és $ z _ {0} $ szomszédságában a következő alakkal rendelkeznek
$$$ \tag{4 }U ( z, z _ {0} ) = \ \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +\gamma ( z, z _ { {0} ),$$
ahol $ \gamma ( z, z _ {0} ) $ egy harmonikus függvény, amely szabályos a teljes felületen $ \Omega $, a Green függvény, ha létezik, a legkisebb, azaz $ G ( z, z _ {0} ) \leq U ( z, z _ {0} ) $. Itt a Green függvény létezése a hiperbolikus típusú Riemann-felületekre jellemző. Ha egy Green-függvényt így definiálunk, akkor az általában véve már nem tűnik el sehol a Riemann-felület (ideális) határán. Hasonló a helyzet a potenciálelméletben is (lásd még Potenciálelmélet, absztrakt). Egy tetszőleges $ \Omega $ nyílt halmazra, pl. a $ \mathbf R ^ {n} $ euklideszi térben, $ n \geq 2 $ esetén a $ G ( x, x _ {0} ) $ Green-függvény szintén definiálható a fent tárgyalt minimumtulajdonság segítségével, de $ n \geq 3 $ esetén a $ | x – x _ _ {0} | ^ {2 – n } $ \mathop{\rm ln} helyébe $ \mathop{\rm ln} kell lépnie. {1/ | x – x _ {0} | } $ a (4) képletben. Általában egy ilyen Green-függvény nem feltétlenül tendál nullához, ahogy a $ \partiális \Omega $ határhoz közelítünk. Nem létezik Green-függvény a parabolikus típusú Riemann-felületekre vagy a $ \mathbf R ^ {2} $ bizonyos tartományaira (pl. $ \Omega = \mathbf R ^ {2} $ esetén).
| S. Sztoilov, “A komplex változó függvényeinek elmélete” , 1-2 , Moszkva (1962) (Oroszul; románból fordítva) | |
| R. Nevanlinna, “Uniformisierung” , Springer (1953) MR0057335 Zbl 0053.05003 | |
| M. Brélot, “Eléments de la théorie classique du potentiel” , Sorbonne Univ. Centre Doc. Univ. , Paris (1959) MR0106366 Zbl 0084.30903 |
E.D. Solomentsev
Vö. még és a klasszikus potenciálelmélet Green-függvényeihez, valamint az axiomatikus potenciálelmélet Green-függvényeihez.
A több komplex változó függvényeinek elméletében, pontosabban a pluri-potenciálelméletben (vö. még Potential theory) a komplex Monge-Ampère-egyenletre vonatkozó Green-függvényeket vezették be. Ideális esetben egy ilyen Green-függvénynek a komplex Monge-Ampère-operátor $ M A = \mathop{\rm det} alapmegoldásának kell lennie. ( \partiális ^ {2} / \partiális z _ {i} \partiális \overline{z}\; _ {j} ) $, amelynek határértékei $ 0 $ és ráadásul pluriszubharmonikus (vö. még Pluriszubharmonikus függvény). A klasszikus egydimenziós elmélet megfelelő analógiáját csak pszeudokonvex tartományok esetén lehet elérni (vö. pszeudokonvex és pszeudokonkáv). A Green-funkció több, egymással egyenértékű definícióját javasolták. Ezek közül az egyik a következő. Legyen $ \Omega $ egy tartomány a $ \mathbf C ^ {n} $-ban, $ w \in \Omega $. Legyen $ \mathop{\rm PSH} ( \Omega ) $jelentse a pluriszubharmonikus függvényeket (vö. Pluriszubharmonikus függvény) $ \Omega $-n. A $ \Omega $ Green-függvénye $ \Omega $-ra, amelynek pólusa $ w $-nál van,
$$ G ( z , w ) =$$$
$$$ = \ \ \sup \{ u ( z) : u \in \mathop{\rm PSH} ( \Omega ) , u \leq 0 ,\ u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} | \zeta – w | < C _ {u} \} ,$$
ahol $ C _ {u} $ egy $ u $-tól függő konstans. Így minden rögzített $ w $ esetén $ G ( \cdot , w ) $ pluriszubharmonikus. $ n = 1 $ esetén $ – G $megfelel a szokásos Green-függvénynek. Természetesen azt akarjuk, hogy $ G ( \cdot , w ) \mid _ {\partiális \Omega } = 0 $ és $ G ( \cdot , w ) $ egy folytonos függvény legyen $ $-ra, de ez egyenértékű azzal, hogy $ \Omega $ egy hiperkonvex tartomány legyen (azaz egy pszeudokonvex tartomány, amely folytonos, korlátos pluriszubharmonikus kimerítő függvényt enged meg). Ha ez a helyzet, akkor is:
1) $ M A ( G ( \cdot , w ) ) = ( 2 \pi ) ^ {n} \delta _ {w} $, ahol $ \delta _ {w} $a Dirac-mérték $ w $-nál,
2) $ G ( z , w ) \sim \mathop{\rm log} | z – w | $as $ z \rightarrow w $és $ G $ folytonos $ \overline \Omega \; \times \Omega $.
Ha $ \Omega $ szigorúan konvex, akkor $ G $ szimmetrikus: $ G ( z , w ) = G ( w , z ) $és $ C ^ \infty $ on $ \Omega \setminus \{ w \} $. Ha $ \Omega $ csak szigorúan álkonvex, akkor $ G $nem kell, hogy szimmetrikus legyen, és még $ C ^ {2} $ sem. Bevezethetünk egyfajta Green-függvényt, amelybe a szimmetriát beépítjük, lásd , de az 1) és a 2) pontot elveszíthetjük. Szigorúan álkonvex $ \Omega $ esetén a következő egyenlőtlenség érvényes (L. Lempert):
$$ $ \mathop{\rm log} \mathop{\rm tanh} C ( z , w ) \leq \ G ( z , w ) < \mathop{\rm log} \mathop{\rm tanh} K ( z , w ) ,$$
egyenlőséggel konvex tartományok esetén. Itt $ C $ és $ K $ a Carathéodory-, illetve a Kobayashi-távolságot jelöli.
Ha $ E $ egy korlátos halmaz $ \mathbf C ^ {n} $-ban, akkor a Green-függvény $ E $ számára a $ \infty $ pólussal $ E $-ban
$$$ L _ {E} ( z) =$$
$$$ = \ \ \sup \{ u ( z) : u \in \mathop{\rm PSH} ( \Omega) , u \leq 0 \mathop{\rm on} E , u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} ( 1 + | \zeta | ) < C _ {u} \} ,$$
és az egyváltozós esethez hasonlóan létezik egy Robin-függvény
$$ R _ {E} ( z) = \lim\limits \sup _{\begin{array}{c}\lambda \in \mathbf C \\\ \lambda \rightarrow \infty \end{array} }( L _ {E} ( \lambda z ) – \mathop{\rm log} | \lambda z | )$$
és egy logaritmikus kapacitás
$$$ \mathop{\rm Cap} ( E) = \mathop{\rm exp} \{ – \sup R _ {E} \} .$$
Általános halmazok esetén $ E $, $ \mathop{\rm Cap} ( E) = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } \mathop{\rm cap} ( E \cap \{ | z | < n \} ) $. Ennek a kapacitásnak az a tulajdonsága, hogy a nulla kapacitású halmazok pontosan a pluri-poláris halmazok.
| L.L. Helms, “Introduction to potential theory” , Wiley (Interscience) (1969) | |
| K. Janssen, “On the existence of a Green function for harmonic spaces” Math. Annalen , 208 (1974) pp. 295-303 MR0350045 Zbl 0265.31018 | |
| N.S. Landkof, “Foundations of modern potential theory” , Springer (1972) (Fordítás oroszból) MR0350027 Zbl 0253.31001 | |
| E. Bedford, “Survey of pluri-potential theory” (megjelenés alatt) MR1207855 Zbl 0786.31001 | |
| U. Cegrell, “Capacities in complex analysis” , Vieweg (1988) MR0964469 Zbl 0655.32001 | |
| J.P. Demailly, “Mesures de Monge-Ampère et mesures pluriharmoniques” Math. Z. , 194 (1987) pp. 519-564 MR881709 Zbl 0595.32006 |
Green-funkció a statisztikai mechanikában.
Korrelációs függvények időben rendezett lineáris kombinációja (vö. Korrelációs függvény a statisztikus mechanikában), amely a kölcsönhatásban lévő részecskék számításaiban egy kényelmes köztes mennyiség.
Green-függvény a statisztikai kvantummechanikában.
A leggyakrabban használt két idejű kommutátoros hőmérsékletű Green-függvények: a késleltetett $ ( \mathop{\rm ret} , + ) $, az előrehaladott $ ( \mathop{\rm adv} , – ) $ és a kauzális (c). Ezeket a következő összefüggések határozzák meg:
$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm ret} ) } }( t – t ^ \prime ) = \ \ \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{\rm ret} ) } } \equiv$$$
$$$ \equiv \ \ \theta ( t – t ^ \prime ) \langle _ \eta \rangle ,$$
$$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } } } ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{\rm adv} ) } } \equiv$$$
$$$ \equiv \ – \theta ( t ^ \prime – t) \langle _ \eta \rangle ,$$
$$$ G _ {AB} ^ {(} c) ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {(} c) \equiv \langle T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) \rangle ,$$
hol
$$ _ \eta = \ A ( t) B ( t ^ \prime ) – \eta B ( t ^ \prime ) A ( t),$$
$$ T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) = \theta ( t – t ^ \prime ) A ( t)B ( t ^ \prime ) + \eta \theta ( t ^ \prime – t) B ( t ^ \prime ) A ( t),$$
$$ \theta ( x) = \left \{ \begin{array}{ll}1, & x > 0 \\\0, & x < 0 \\\\end{array} ,\ \ \eta = \pm 1 . \right .$$
Itt $ A ( t) $ és $ B ( t ^ \prime ) $ időfüggő dinamikai változók (a rendszer állapottérének operátorai a Heisenberg-reprezentációban); $ \langle \dots \rangle $megjelöli a Gibbs-féle statisztikai aggregátum átlagát; az $ \eta = \pm 1 $ értékét az egyszerűség kedvéért választottuk. A Green-függvények használatának hatékonysága nagymértékben függ a Fourier-transzformációik spektrális ábrázolásainak $ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) $, $ n = \mathop{\rm ret} , \mathop{\rm adv} , \textrm{ c } $. Így nem nulla hőmérséklet esetén a következő ábrázolás érvényes az előrehaladott és a késleltetett Green-függvényekre:
$$ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) = \ \ \ll A \mid B \gg _ {E} ^ {(} n) =$$
$$ = \ \ \frac{i}{2 \pi } \int\limits _ {- \infty } ^ { {+ } \infty } \frac{(e ^ {\omega / \theta } – \eta ) J _ {AB} (\omega ) }{ E – \omega + i \epsilon \alpha _ {n} } d \omega ,$$
$$ \epsilon \rightarrow + 0,\ \ \alpha _ {n} = \left \{ \begin{array}{rl}1, & n = \mathop{\rm ret} , \\\- 1, & n = \mathop{\rm adv} . \\\end{array} \right .$$
Itt $ J _ {AB} ( \omega ) $ a spektrális sűrűség, $ \theta = kT $, ahol $ T \neq 0 $ az abszolút hőmérséklet, és $ k $ a Boltzmann-állandó. Az alkalmazott egységrendszerben $ \hbar = h/2 \pi = 1 $, ahol $ h $ a Planck-állandó. Különösen a következő képlet érvényes:
$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm ret} ) } ( \omega ) -G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } ( \omega ) = \ \left ( e ^ {\omega / \theta } – \eta\right ) J _ {AB} ( \omega ) .$$
Ez a képlet lehetővé teszi a spektrális sűrűség (és így a rendszer számos fizikai jellemzőjének) kiszámítását egy Green-függvény segítségével. Hasonló spektrális képletek léteznek nulla hőmérsékletre is. A Green-függvény Fourier-transzformáltjának szingularitásai (pólusai a komplex síkban) jellemzik a rendszer spektrumát és az elemi perturbációk csillapítását. A Green-függvény kiszámításának fő forrásai a következők: a) egy végtelen egymásba fonódó egyenletlánc közelítő megoldása, amelyet közvetlenül a Green-függvény definíciójából vezetnek le a lánc fizikai elképzelések alapján történő “felosztásával”; b) a perturbációelméleti sorozat fizikai “alaptételeinek” összegzése (diagramok összegzése); ezt a módszert elsősorban a kauzális Green-függvények kiszámítására használják, és sok tekintetben hasonlít a kvantumtérelméletben a Green-függvény kiszámításának módszerére.
A klasszikus statisztikus mechanikában
a Green-függvények a klasszikus statisztikus mechanikában
a kétszeresen késleltetett (ret) és haladó (adv) Green-függvények, amelyeket úgy kapunk, hogy a kvantumesetre megállapított megfelelő kvantumformulákban ($ \eta = \pm 1 $ esetén) az $ A ( t) $ és $ B ( t ^ \prime ) $ operátorokat a vizsgált klasszikus rendszer dinamikus állapotfüggvényeivel helyettesítjük, és a kommutátor $ A ( t) B ( t ^ \prime ) – B ( t ^ \prime ) A ( t) $ (a kvantum Poisson zárójelek) helyett a klasszikus (közönséges) Poisson zárójelekkel; $ \langle \dots \rangle $ ennek megfelelően a Gibbs-féle klasszikus aggregátumon való átlagolást jelenti. A kauzális Green-függvény bevezetésének itt nincs jelentősége, mivel a dinamikus változók szorzata kommutatív. A kvantumos esethez hasonlóan léteznek a Green-függvény Fourier-transzformációjának spektrális ábrázolásai, amelyek hatékonyan alkalmazhatók. A klasszikus Green-függvény kiszámításának fő forrása a korrelációs függvények valamilyen egyenletrendszerének Hamilton-egyenleteinek infinitezimális variálásával kapott egyenletrendszer: a Bogoljubov-egyenletlánc, egy hidrodinamikai egyenletrendszer stb.
| N.N. Bogoljubov, S.V. Tyablikov, “Retarded and advanced Green functions in statistical physics” Soviet Phys. Dokl. , 4 (1960) pp. 589-593 Dokl. Akad. Nauk SSSR , 126 (1959) pp. 53 Zbl 0092.21703 | |
| D.N. Zubarev, “Double-time Green functions in statistical physics” Soviet Phys. Uspekhi , 3 (1960) pp. 320-345 Uspekhi Fiz. Nauk , 71 (1960) pp. 71-116 MR0122068 | |
| N.N. Bogoljubov, jr., B.I. Sadovnikov, Zh. Eksperim. Teor. Fiz. , 43 : 8 (1962) pp. 677 | |
| N.N. Bogolyubov jr, B.I. Szadovnyikov, “A statisztikus mechanika néhány kérdése” , Moszkva (1975) (Oroszul) | |
| , Statisztikai fizika és kvantumtérelmélet , Moszkva (1973) (Oroszul) Zbl 1195.81005 Zbl 1153.81302 Zbl 1153.81301 Zbl 1119.81300 Zbl 1110.00014 Zbl 1112.81301 Zbl 1099.81500 Zbl 1062.81500 Zbl 1064.81500 Zbl 1014.00503 Zbl 1062.81501 Zbl 0994.81077 Zbl 1016.81042 Zbl 0967.00039 Zbl 1087.82505 Zbl 1074.81537 Zbl 1014.00509 Zbl 0947.00014 Zbl 0967.00041 Zbl 0956.81504 |
V.N. Plechko