Homorphisme, (du grec homoios morphe, « forme similaire »), correspondance particulière entre les membres (éléments) de deux systèmes algébriques, tels que deux groupes, deux anneaux, ou deux champs. Deux systèmes homomorphes ont la même structure de base et, bien que leurs éléments et opérations puissent sembler totalement différents, les résultats obtenus sur un système s’appliquent souvent aussi bien à l’autre système. Ainsi, si l’on peut montrer qu’un nouveau système est homomorphe à un système connu, certaines caractéristiques connues de l’un peuvent être appliquées à l’autre, simplifiant ainsi l’analyse du nouveau système.

Dans un homomorphisme, les éléments correspondants de deux systèmes se comportent de manière très similaire en combinaison avec d’autres éléments correspondants. Par exemple, que G et H soient des groupes. Les éléments de G sont notés g, g′,…, et ils sont soumis à une certaine opération ⊕. (Bien que le symbole puisse être considéré comme une opération comme la multiplication, il peut tout aussi bien indiquer une rotation ou une autre opération non arithmétique). De même, les éléments de H sont notés par h, h′,…, et ils sont soumis à une certaine opération ⊗. Un homomorphisme de G vers H est une correspondance g → h entre tous les éléments de G et certains éléments de H qui a la propriété suivante : si g → h et g′ → h′, alors g ⊕ g′ → h ⊗ h′. Autrement dit, l’élément de H correspondant à un produit d’éléments de G est le produit, dans le même ordre, des éléments de H correspondant aux deux éléments de G. Exprimé de manière plus compacte, l' »image » du produit est le produit des images, ou encore la correspondance préserve l’opération.

Une correspondance entre les membres de deux systèmes algébriques peut être écrite comme une fonction f de G à H, et on parle de f comme d’un « mapping » de G à H. La condition que f soit un homomorphisme du groupe G vers le groupe H peut être exprimée comme l’exigence que f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′).

Les homomorphismes imposent des conditions sur un mapping f : si e est l’identité de G, alors g ⊕ e = g, donc f(g ⊕ e) = f(g). De plus, puisque f est un homomorphisme, f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e), donc f(g) = f(g) ⊗ f(e). Par les lois d’annulation des groupes, cela implique que f(e) est égale à l’identité dans H. Ainsi, les homomorphismes font correspondre l’élément unique d’identité d’un groupe à l’élément unique d’identité de l’autre groupe. De même, les homomorphismes transforment l’inverse d’un élément g dans un groupe en l’inverse de l’élément f(g). C’est pourquoi les homomorphismes sont appelés cartes préservant la structure.

Des types particuliers d’homomorphismes ont leurs propres noms. Un homomorphisme univoque de G à H est appelé un monomorphisme, et un homomorphisme qui est « sur », ou couvre chaque élément de H, est appelé un épimorphisme. Un homomorphisme particulièrement important est un isomorphisme, dans lequel l’homomorphisme de G à H est à la fois biunivoque et onto. Dans ce dernier cas, G et H sont essentiellement le même système et ne diffèrent que par les noms de leurs éléments. Ainsi, les homomorphismes sont utiles pour classer et énumérer les systèmes algébriques, car ils permettent d’identifier à quel point différents systèmes sont liés.