Homomorphismus, (von griechisch homoios morphe, „ähnliche Form“), eine spezielle Entsprechung zwischen den Gliedern (Elementen) zweier algebraischer Systeme, wie zwei Gruppen, zwei Ringe oder zwei Felder. Zwei homomorphe Systeme haben dieselbe Grundstruktur, und obwohl ihre Elemente und Operationen völlig unterschiedlich erscheinen können, gelten die Ergebnisse des einen Systems oft auch für das andere System. Wenn also gezeigt werden kann, dass ein neues System homomorph zu einem bekannten System ist, können bestimmte bekannte Merkmale des einen Systems auf das andere übertragen werden, was die Analyse des neuen Systems vereinfacht.

Bei einem Homomorphismus verhalten sich entsprechende Elemente zweier Systeme in Kombination mit anderen entsprechenden Elementen sehr ähnlich. Ein Beispiel: G und H seien Gruppen. Die Elemente von G werden mit g, g′,… bezeichnet, und sie unterliegen einer Operation ⊕. (Obwohl man sich das Symbol als eine Operation wie die Multiplikation vorstellen kann, kann das Symbol genauso gut eine Drehung oder eine andere nichtarithmetische Operation bezeichnen.) In ähnlicher Weise werden die Elemente von H mit h, h′,… bezeichnet, und sie unterliegen einer Operation ⊗. Ein Homomorphismus von G nach H ist eine Korrespondenz g → h zwischen allen Elementen von G und einigen Elementen von H, die die folgende Eigenschaft hat: Wenn g → h und g′ → h′, dann g ⊕ g′ → h ⊗ h′. Mit anderen Worten: Das Element von H, das einem Produkt von Elementen in G entspricht, ist das Produkt der Elemente von H, die den beiden Elementen in G entsprechen, und zwar in derselben Reihenfolge.

Eine Korrespondenz zwischen Mitgliedern zweier algebraischer Systeme kann als Funktion f von G nach H geschrieben werden, und man spricht von f als „Abbildung“ von G nach H. Die Bedingung, dass f ein Homomorphismus der Gruppe G auf die Gruppe H ist, kann als die Forderung ausgedrückt werden, dass f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′) ist.

Homomomorphismen stellen Bedingungen an eine Abbildung f: Wenn e die Identität von G ist, dann ist g ⊕ e = g, also ist f(g ⊕ e) = f(g). Da f außerdem ein Homomorphismus ist, ist f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e), also f(g) = f(g) ⊗ f(e). Nach den Aufhebungsgesetzen für Gruppen bedeutet dies, dass f(e) gleich der Identität in H ist. Homomorphismen bilden also das eindeutige Identitätselement der einen Gruppe auf das eindeutige Identitätselement der anderen Gruppe ab. In ähnlicher Weise bilden Homomorphismen den Kehrwert eines Elements g in einer Gruppe auf den Kehrwert des Elements f(g) ab. Aus diesem Grund werden Homomorphismen auch strukturerhaltende Abbildungen genannt.

Besondere Arten von Homomorphismen haben eigene Namen. Ein Eins-zu-Eins-Homomorphismus von G nach H wird Monomorphismus genannt, und ein Homomorphismus, der „onto“ ist oder jedes Element von H abdeckt, wird Epimorphismus genannt. Ein besonders wichtiger Homomorphismus ist ein Isomorphismus, bei dem der Homomorphismus von G nach H sowohl eineindeutig als auch onto ist. In diesem letzten Fall sind G und H im Wesentlichen dasselbe System und unterscheiden sich nur durch die Namen ihrer Elemente. Daher sind Homomorphismen bei der Klassifizierung und Aufzählung algebraischer Systeme nützlich, da sie es ermöglichen, zu erkennen, wie eng verschiedene Systeme miteinander verwandt sind.