Homomorfi, (fra græsk homoios morphe, “lignende form”), en særlig korrespondance mellem medlemmerne (elementer) i to algebraiske systemer, såsom to grupper, to ringe eller to felter. To homomorfe systemer har den samme grundstruktur, og selv om deres elementer og operationer kan forekomme helt forskellige, gælder resultater vedrørende det ene system ofte også for det andet system. Hvis det således kan påvises, at et nyt system er homomorft i forhold til et kendt system, kan visse kendte træk ved det ene system anvendes på det andet, hvilket forenkler analysen af det nye system.

I en homomorfi opfører tilsvarende elementer i to systemer sig meget ens i kombination med andre tilsvarende elementer. Lad f.eks. G og H være grupper. Elementerne i G betegnes g, g′, …, og de er genstand for en eller anden operation ⊕. (Selv om symbolet kan opfattes som en operation som multiplikation, kan symbolet lige så godt angive rotation eller en anden ikke-aritmetisk operation). På samme måde betegnes elementerne i H med h, h′, …, og de er underlagt en eller anden operation ⊗. En homomorfisme fra G til H er en korrespondance g → h mellem alle elementer i G og nogle elementer i H, der har følgende egenskab: Hvis g → h og g′ → h′, så er g ⊕ g′ → h ⊗ h′. Med andre ord er det element i H, der svarer til et produkt af elementer i G, produktet i samme rækkefølge af de elementer i H, der svarer til de to elementer i G. Udtrykt mere kompakt er “billedet” af produktet produktet produktet af billederne, eller korrespondancen bevarer operationen.

En korrespondance mellem medlemmer af to algebraiske systemer kan skrives som en funktion f fra G til H, og man taler om f som en “kortlægning” af G til H. Betingelsen for, at f er en homomorfisme fra gruppen G til gruppen H, kan udtrykkes som kravet om, at f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′).

Homomorphismer pålægger betingelser for en afbildning f: Hvis e er identiteten i G, så er g ⊕ e = g, så f(g ⊕ e) = f(g). Da f desuden er en homomorfisme, er f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e), så f(g) = f(g) ⊗ f(e). I henhold til annulleringslovene for grupper indebærer dette, at f(e) er lig med identiteten i H. Homomorfismer afbilder således det unikke identitetselement i den ene gruppe til det unikke identitetselement i den anden gruppe. På samme måde omdanner homomorfismer det omvendte af et element g i den ene gruppe til det omvendte af elementet f(g). Det er derfor, at homomorfismer kaldes strukturbevarende kort.

Særlige typer af homomorfismer har deres egne navne. En en-til-en homomorfisme fra G til H kaldes en monomorfisme, og en homomorfisme, der er “onto” eller dækker alle elementer i H, kaldes en epimorfisme. En særlig vigtig homomorfisme er en isomorfi, hvor homomorfismen fra G til H er både en-til-en-homomorfisme og “onto”. I dette sidste tilfælde er G og H i alt væsentligt det samme system og adskiller sig kun ved navnene på deres elementer. Homomorfismer er således nyttige ved klassificering og opregning af algebraiske systemer, da de gør det muligt at identificere, hvor tæt forskellige systemer er beslægtede.