Dva topologické prostory (X, TX) a (Y, TY) jsou homeomorfní, pokud existuje bijekce f : X → Y, která je spojitá a jejíž inverzní f-1 je také spojitá vzhledem k daným topologiím; taková funkce f se nazývá homeomorfismus. Relace „je homeomorfní k“ mezi topologickými prostory je nejzákladnější relací v topologii, protože dva topologické prostory, které jsou homeomorfní, jsou z topologického hlediska nerozlišitelné – jsou topologicky ekvivalentní. Alternativní definice homeomorfismu říká, že bijekce f : X → Y je homeomorfismus tehdy a jen tehdy, když f i f-1 mapují otevřené množiny na otevřené množiny. Jsou-li tedy (X, TX) a (Y, TY) homeomorfní, pak jsou v jedničkové korespondenci nejen prvky X a Y, ale i jejich otevřené množiny. Můžeme tedy považovat (Y, TY) za v podstatě stejný prostor jako (X, TX), pokud jde o jeho čistě topologické vlastnosti: (X, TX) a (Y, TY) jsou pouze dva různé způsoby prezentace téhož prostoru.
Je proto užitečné umět určit, zda jsou dva dané topologické prostory homeomorfní. Samozřejmě, pokud mezi nimi najdeme konkrétní homeomorfismus, pak je otázka zodpovězena; pokud však homeomorfismus nenajdeme, pak nemůžeme vyvodit, že žádný neexistuje. Hledání konkrétního homeomorfismu tedy nemusí být tím nejlepším přístupem. To, co chceme, jsou kritéria, která nám umožní říci, zda jsou dvě dané plochy homeomorfní, aniž bychom se museli snažit zkonstruovat konkrétní homeomorfismus mezi nimi.
Podobná situace, která může pomoci objasnit, o co jde, je následující. Mapa mezi metrickými prostory, která zachovává vzdálenosti, se nazývá izometrie a dvě podmnožiny metrického prostoru, které jsou spojeny izometrií, jsou v podstatě stejné, pokud jde o jejich metrické vlastnosti. Uvažujme například množinu elips v 
2 s euklidovskou metrikou. Dvě elipsy jsou izometrické tehdy a jen tehdy, když délky jejich hlavních os jsou stejné a délky jejich vedlejších os jsou stejné (viz obrázek 1). Tato dvě kritéria nám umožňují určit, zda jsou dvě dané elipsy izometrické, aniž bychom mezi nimi museli konstruovat konkrétní izometrii: jednoduše porovnáme délky jejich os. Říkáme, že délky hlavní a vedlejší osy klasifikují elipsy v 2 až do izometrie.
Všimněte si, že ve větě „klasifikují elipsy v 2 až do izometrie“ jsme specifikovali třídu uvažovaných útvarů (elipsy v 2): naše kritéria se vztahují pouze na tyto konkrétní útvary v rovině a netvrdíme, že jiné útvary lze klasifikovat až do izometrie podobným způsobem. Všimněte si také, že je důležité uvést upřesnění „až do izometrie“, protože všechny elipsy jsou homeomorfní.
V tomto kurzu je naším hlavním úkolem definovat určitou třídu ploch zvaných kompaktní plochy a poté určit kritéria, která nám umožní určit, zda jsou dvě dané kompaktní plochy homeomorfní. Tyto plochy lze klasifikovat pomocí pouhých tří kritérií, jak si ukážeme. Vskutku, stejně jako můžeme klasifikovat elipsy v 2 až do izometrie zadáním pouhých dvou čísel (délky hlavní a vedlejší osy), tak můžeme klasifikovat všechny kompaktní plochy až do homeomorfismu zadáním pouhých tří čísel. Příslušnou větu – Klasifikační větu – uvedeme později v tomto kurzu. Než uvedeme Klasifikační větu, uvedeme příklady ploch, ukážeme, jak s nimi lze manipulovat, jak je lze definovat a reprezentovat, a prozkoumáme některé jejich důležité vlastnosti.
Duch, v němž se v tomto kurzu zabýváme plochami, vyplývá ze způsobu, jakým teorie ploch souvisí s ostatními obory topologie, a to se zase odráží v historii těchto oborů. Při studiu povrchů můžeme dlouho postupovat s intuitivními pojmy a tento předmět se často studuje právě tímto způsobem. Dnes se můžeme na tyto intuice odvolávat s jistotou, že intuitivně přitažlivé věty lze dokázat rigorózně. Přesné definice a rigorózní důkazy, které se objevují v literatuře, totiž často zahrnují jemné a obtížné argumenty, které se jinak vymykají geometrické topologii a mohou jen málo přispět k pochopení základních pojmů.
Příkladem je tzv. věta o Jordanově křivce, která tvrdí, že každá křivka v rovině, která je homeomorfní kružnici, dělí rovinu na dvě oblasti, jednu ohraničenou („vnitřek“ křivky) a druhou neohraničenou („vnějšek“); obrázek 2 ukazuje takovou křivku C v rovině, přičemž její vnitřek je vystínován. Ačkoli je tvrzení o Jordanově křivce zcela věrohodné – a vskutku je pro mnoho částí matematiky zásadní – je obtížné je dokázat. Ve skutečnosti je pravděpodobné, že jen málo matematiků kdy vidělo důkaz, protože takové důkazy pouze potvrzují to, čemu již věříme. Je samozřejmě dobré mít důkaz, ale nepovažujeme za nezbytné dokazovat všechny výsledky v tomto kurzu. Zkoumání důkazu Jordanovy věty neodhaluje žádné zvlášť neintuitivní komplikace, a proto důkaz vynecháváme.
V tomto kurzu uvádíme, kdy je třeba pojmy chápat na intuitivní úrovni a kdy jsou nutné přesnější definice, věty a důkazy. Tam, kde je to možné, uvádíme rigorózní definice a důkazy.