Dois espaços topológicos (X, TX) e (Y, TY) são homeomorfos se houver uma bijecção f : X → Y que é contínua, e cujo inverso f-1 também é contínuo, com respeito às topologias dadas; tal função f é chamada de homeomorfismo. A relação “é homeomórfica para” entre espaços topológicos é a relação mais fundamental em topologia, pois dois espaços topológicos que são homeomórficos são indistinguíveis do ponto de vista topológico – eles são topologicamente equivalentes. Uma definição alternativa de um homeomorfismo é que uma bijecção f : X → Y é um homeomorfismo se e somente se ambos f e f-1 mapeiam conjuntos abertos a conjuntos abertos. Assim, se (X, TX) e (Y, TY) são homeomorfos, então não só os elementos de X e Y estão em correspondência um a um, mas também os seus conjuntos abertos. Assim, podemos considerar (Y, TY) como sendo essencialmente o mesmo espaço que (X, TX), no que diz respeito às suas propriedades puramente topológicas: (X, TX) e (Y, TY) são apenas duas formas diferentes de apresentar o mesmo espaço.
Por isso é útil poder determinar se dois espaços topológicos são homeomórficos. Claro, se conseguirmos encontrar um homeomorfismo específico entre eles, então a questão é respondida; mas se não conseguirmos encontrar um homeomorfismo, então não podemos deduzir que não existe um. Portanto, procurar um homeomorfismo em particular pode não ser a melhor abordagem. O que queremos são critérios que nos permitam dizer se duas superfícies dadas são homeomorfas sem termos de tentar construir um homeomorfismo específico entre elas.
Uma situação semelhante, que pode ajudar a esclarecer o que está envolvido, é a seguinte. Um mapa entre espaços métricos que preserva distâncias é chamado de isometria, e dois subconjuntos de um espaço métrico que estão relacionados por uma isometria são essencialmente os mesmos, no que diz respeito às suas propriedades métricas. Por exemplo, considere a coleção de elipses em 
2, com a métrica euclidiana. Duas elipses são isométricas se e somente se os comprimentos dos seus eixos maiores forem os mesmos, e os comprimentos dos seus eixos menores forem os mesmos (ver Figura 1). Estes dois critérios nos permitem determinar se duas elipses dadas são isométricas sem que tenhamos que construir uma isometria específica entre elas: simplesmente comparamos os comprimentos de seus eixos. Dizemos que os comprimentos dos eixos maiores e menores classificam as elipses em 2 até à isometria.
Notem que, na frase ‘classificar elipses em 2 até à isometria’, especificámos a classe das figuras em consideração (elipses em 2): os nossos critérios aplicam-se apenas a estas figuras em particular no plano, e não afirmamos que outras figuras podem ser classificadas até à isometria de forma semelhante. Note também a importância de incluir a qualificação ‘até isometria’, já que todas as elipses são homeomorfas.
Neste curso, nossa tarefa principal é definir uma determinada classe de superfícies chamada superfícies compactas, e então especificar critérios que nos permitam determinar se duas determinadas superfícies compactas são homeomorfas. Estas superfícies podem ser classificadas usando apenas três critérios, como vamos mostrar. De facto, tal como podemos classificar as elipses em 2 até à isometria especificando apenas dois números (os comprimentos dos eixos maior e menor), também podemos classificar todas as superfícies compactas até ao homeomorfismo especificando apenas três números. O teorema apropriado – o Teorema da Classificação – é indicado mais adiante neste curso. Antes de declararmos o Teorema da Classificação, damos exemplos de superfícies, mostramos como elas podem ser manipuladas, definidas e representadas, e examinamos algumas de suas propriedades importantes.
O espírito no qual exploramos superfícies neste curso surge da forma como a teoria das superfícies se relaciona com o resto da topologia, e que por sua vez se reflete na história destes assuntos. Ao estudar superfícies podemos prosseguir um longo caminho com conceitos intuitivos, e o assunto é frequentemente estudado dessa forma. Hoje podemos apelar a estas intuições, seguros no conhecimento de que os teoremas intuitivamente apelativos podem ser provados com rigor. De fato, as definições precisas e as provas rigorosas que aparecem na literatura freqüentemente envolvem argumentos sutis e difíceis de uma espécie de topologia geométrica, e podem acrescentar pouco à nossa compreensão dos conceitos subjacentes.
Um exemplo é o chamado Teorema da Curva Jordan, que afirma que qualquer curva no plano que é homeomórfica a um círculo divide o plano em duas regiões, uma limitada (o ‘interior’ da curva) e a outra não limitada (o ‘exterior’); a Figura 2 mostra tal curva C no plano, com o seu interior sombreado. Embora a afirmação do teorema da curva do Jordão seja inteiramente plausível – de fato, é fundamental para muitas partes da matemática – o teorema é difícil de provar. Na verdade, é provável que poucos matemáticos já tenham visto uma prova, porque tais provas apenas confirmam o que já acreditamos. É bom ter uma prova, é claro, mas não consideramos essencial provar todos os resultados deste curso. Examinando a prova do Teorema da Curva de Jordão não revelamos complicações particularmente contra-intuitivas, e por isso omitimos a prova.
Neste curso indicamos quando conceitos devem ser entendidos a um nível intuitivo, e quando definições mais precisas, teoremas e provas são necessárias. Sempre que possível, fornecemos definições e provas rigorosas.