Dwie przestrzenie topologiczne (X, TX) i (Y, TY) są homeomorficzne, jeśli istnieje bijekcja f : X → Y, która jest ciągła, i której odwrotność f-1 jest również ciągła, względem danych topologii; taką funkcję f nazywamy homeomorfizmem. Relacja „jest homeomorficzny do” między przestrzeniami topologicznymi jest najbardziej fundamentalną relacją w topologii, ponieważ dwie przestrzenie topologiczne, które są homeomorficzne są nieodróżnialne z topologicznego punktu widzenia – są topologicznie równoważne. Alternatywna definicja homeomorfizmu mówi, że bijekcja f : X → Y jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno f jak i f-1 odwzorowują zbiory otwarte na zbiory otwarte. Zatem, jeśli (X, TX) i (Y, TY) są homeomorficzne, to nie tylko elementy X i Y są w jednej korespondencji, ale także ich zbiory otwarte. Możemy więc uznać, że (Y, TY) jest zasadniczo tą samą przestrzenią co (X, TX), jeśli chodzi o jej własności czysto topologiczne: (X, TX) i (Y, TY) są jedynie dwoma różnymi sposobami przedstawienia tej samej przestrzeni.
Przydatna jest zatem możliwość określenia, czy dwie dane przestrzenie topologiczne są homeomorficzne. Oczywiście, jeśli możemy znaleźć konkretny homeomorfizm między nimi, to pytanie jest rozstrzygnięte; ale jeśli nie znajdziemy homeomorfizmu, to nie możemy wnioskować, że go nie ma. Zatem szukanie konkretnego homeomorfizmu może nie być najlepszym podejściem. To, czego chcemy, to kryteria, które pozwalają nam powiedzieć, czy dwie dane powierzchnie są homeomorficzne bez konieczności podejmowania przez nas prób skonstruowania konkretnego homeomorfizmu między nimi.
Podobna sytuacja, która może pomóc wyjaśnić, o co chodzi, jest następująca. Mapa pomiędzy przestrzeniami metrycznymi, która zachowuje odległości nazywana jest izometrią, a dwa podzbiory przestrzeni metrycznej, które są powiązane przez izometrię są zasadniczo takie same, tak dalece jak ich własności metryczne są zainteresowane. Na przykład, rozważmy zbiór elips w 
2, z metryką euklidesową. Dwie elipsy są izometryczne wtedy i tylko wtedy, gdy długości ich osi głównych są takie same, a długości ich osi mniejszych są takie same (patrz rysunek 1). Te dwa kryteria pozwalają nam stwierdzić, czy dwie dane elipsy są izometryczne bez konieczności konstruowania między nimi izometrii: po prostu porównujemy długości ich osi. Mówimy, że długości osi głównej i małej klasyfikują elipsy w 2 aż do izometrii.
Zauważmy, że w wyrażeniu „klasyfikują elipsy w 2 aż do izometrii” określiliśmy klasę rozważanych figur (elipsy w 2): nasze kryteria stosują się tylko do tych konkretnych figur na płaszczyźnie i nie twierdzimy, że inne figury mogą być klasyfikowane aż do izometrii w podobny sposób. Zauważmy też, jak ważne jest uwzględnienie zastrzeżenia „aż do izometrii”, ponieważ wszystkie elipsy są homeomorficzne.
W tym kursie naszym głównym zadaniem jest zdefiniowanie pewnej klasy powierzchni zwanych powierzchniami zwartymi, a następnie określenie kryteriów pozwalających stwierdzić, czy dwie dane powierzchnie zwarte są homeomorficzne. Jak pokażemy, powierzchnie te mogą być sklasyfikowane przy użyciu tylko trzech kryteriów. W rzeczy samej, tak jak możemy sklasyfikować elipsy w 2 aż do izometrii podając tylko dwie liczby (długości osi głównej i małej), tak możemy sklasyfikować wszystkie powierzchnie zwarte aż do homeomorfizmu podając tylko trzy liczby. Odpowiednie twierdzenie – Twierdzenie Klasyfikacji – jest podane w dalszej części kursu. Zanim podamy Twierdzenie Klasyfikacji, podamy przykłady powierzchni, pokażemy jak można nimi manipulować, definiować i reprezentować oraz zbadamy niektóre z ich ważnych własności.
Duch, w którym badamy powierzchnie w tym kursie wynika ze sposobu, w jaki teoria powierzchni odnosi się do reszty topologii, a to z kolei znajduje odzwierciedlenie w historii tych tematów. Podczas badania powierzchni możemy przejść długą drogę posługując się intuicyjnymi pojęciami i temat ten jest często studiowany w ten sposób. Dzisiaj możemy odwoływać się do tych intuicji, mając pewność, że intuicyjnie pociągające twierdzenia mogą być udowodnione w sposób rygorystyczny. W rzeczy samej, dokładne definicje i rygorystyczne dowody pojawiające się w literaturze często zawierają subtelne i trudne argumenty, które w inny sposób nie pasują do topologii geometrycznej i mogą niewiele wnieść do naszego zrozumienia podstawowych pojęć.
Przykładem jest tak zwane twierdzenie o krzywej Jordana, które mówi, że każda krzywa na płaszczyźnie, która jest homeomorficzna do okręgu, dzieli płaszczyznę na dwa regiony, jeden ograniczony („wnętrze” krzywej) i drugi nieograniczony („zewnątrz”); Rysunek 2 pokazuje taką krzywą C na płaszczyźnie, z zacienioną jej wewnętrzną stroną. Chociaż twierdzenie o krzywej Jordana jest całkowicie wiarygodne – w rzeczy samej, ma ono fundamentalne znaczenie dla wielu dziedzin matematyki – to jednak jest ono trudne do udowodnienia. W rzeczywistości, prawdopodobnie niewielu matematyków widziało kiedykolwiek dowód, ponieważ takie dowody jedynie potwierdzają to, w co już wierzymy. Oczywiście, dobrze jest mieć dowód, ale nie uważamy za konieczne udowadnianie wszystkich wyników w tym kursie. Badanie dowodu Twierdzenia o krzywej Jordana nie ujawnia żadnych szczególnie kontrintuicyjnych komplikacji, więc pomijamy dowód.
W tym kursie wskazujemy, kiedy pojęcia mają być rozumiane na poziomie intuicyjnym, a kiedy wymagane są bardziej precyzyjne definicje, twierdzenia i dowody. Tam, gdzie to możliwe, podajemy ścisłe definicje i dowody.
.