Twee topologische ruimten (X, TX) en (Y, TY) zijn homeomorf als er een bijectie f : X → Y bestaat die continu is, en waarvan de inverse f-1 ook continu is, met betrekking tot de gegeven topologieën; zo’n functie f heet een homeomorfisme. De relatie ‘is homeomorf aan’ tussen topologische ruimten is de meest fundamentele relatie in de topologie, want twee topologische ruimten die homeomorf zijn, zijn topologisch gezien niet te onderscheiden – ze zijn topologisch equivalent. Een alternatieve definitie van een homeomorfisme is dat een bijectie f : X → Y een homeomorfisme is als en slechts als zowel f als f-1 open verzamelingen naar open verzamelingen leidt. Als (X, TX) en (Y, TY) dus homeomorf zijn, dan zijn niet alleen de elementen van X en Y één-op-één verwant, maar ook hun open verzamelingen. Men kan dus (Y, TY) beschouwen als in wezen dezelfde ruimte als (X, TX), wat haar zuiver topologische eigenschappen betreft: (X, TX) en (Y, TY) zijn slechts twee verschillende manieren om dezelfde ruimte voor te stellen.
Het is dus nuttig om te kunnen bepalen of twee gegeven topologische ruimten homeomorf zijn. Natuurlijk, als we een specifiek homeomorfisme tussen hen kunnen vinden, is de vraag beantwoord; maar als we geen homeomorfisme vinden, kunnen we niet concluderen dat er geen is. Zoeken naar een specifiek homeomorfisme is dus misschien niet de beste aanpak. Wat we willen zijn criteria die ons in staat stellen te zeggen of twee gegeven oppervlakken homeomorf zijn zonder dat we hoeven te proberen een specifiek homeomorfisme tussen hen te construeren.
Een vergelijkbare situatie, die kan helpen te verduidelijken waar het om gaat, is de volgende. Een kaart tussen metrische ruimten die afstanden bewaart, heet een isometrie, en twee deelverzamelingen van een metrische ruimte die door een isometrie verwant zijn, zijn in wezen gelijk, voor zover het hun metrische eigenschappen betreft. Beschouw bijvoorbeeld de verzameling ellipsen in 
2, met de Euclidische metriek. Twee ellipsen zijn isometrisch als en slechts als de lengten van hun hoofdassen gelijk zijn, en de lengten van hun nevenassen gelijk zijn (zie figuur 1). Deze twee criteria stellen ons in staat te bepalen of twee gegeven ellipsen isometrisch zijn zonder dat wij een specifieke isometrie tussen hen hoeven te construeren: wij vergelijken eenvoudigweg de lengtes van hun assen. We zeggen dat de lengten van de hoofd- en nevenas ellipsen in 2 tot isometrie classificeren.
Merk op dat we in de zin “ellipsen in 2 tot isometrie classificeren” de klasse van de beschouwde figuren (ellipsen in 2) hebben gespecificeerd: onze criteria gelden alleen voor deze specifieke figuren in het vlak, en we beweren niet dat andere figuren op een vergelijkbare manier tot isometrie kunnen worden geclassificeerd. Merk ook op dat het belangrijk is de kwalificatie “tot isometrie” op te nemen, want alle ellipsen zijn homeomorf.
In deze cursus is onze hoofdtaak een bepaalde klasse oppervlakken te definiëren die compacte oppervlakken worden genoemd, en vervolgens criteria te specificeren aan de hand waarvan we kunnen bepalen of twee gegeven compacte oppervlakken homeomorf zijn. Deze oppervlakken kunnen geclassificeerd worden met behulp van slechts drie criteria, zoals we zullen aantonen. Inderdaad, zoals men ellipsen in 2 tot en met isometrie kan indelen door slechts twee getallen op te geven (de lengte van de hoofd- en nevenas), zo kan men alle compacte oppervlakken tot en met het homeomorfisme indelen door slechts drie getallen op te geven. De toepasselijke stelling – de Classification Theorem – wordt later in deze cursus gesteld. Voor we de Classification Theorem stellen, geven we voorbeelden van oppervlakken, tonen we hoe ze kunnen worden gemanipuleerd, gedefinieerd en voorgesteld, en onderzoeken we enkele van hun belangrijke eigenschappen.
De geest waarin we in deze cursus oppervlakken onderzoeken, komt voort uit de manier waarop de theorie van oppervlakken zich verhoudt tot de rest van de topologie, en dat wordt op zijn beurt weerspiegeld in de geschiedenis van deze onderwerpen. Bij het bestuderen van oppervlakken kunnen we een heel eind komen met intuïtieve concepten, en het onderwerp wordt vaak op die manier bestudeerd. Vandaag kunnen wij ons beroepen op deze intuïties, in de veilige wetenschap dat de intuïtief aantrekkelijke stellingen op een rigoureuze manier bewezen kunnen worden. De precieze definities en rigoureuze bewijzen die in de literatuur verschijnen, impliceren immers vaak subtiele en moeilijke argumenten van een soort die anders niet past in de meetkundige topologie, en die weinig kunnen toevoegen aan ons begrip van de onderliggende concepten.
Een voorbeeld is de zogenaamde stelling van de kromme van Jordan, die stelt dat elke kromme in het vlak die homeomorf is aan een cirkel, het vlak in twee gebieden verdeelt, het ene begrensd (de “binnenkant” van de kromme) en het andere onbegrensd (de “buitenkant”); figuur 2 toont zo’n kromme C in het vlak, met de binnenkant gearceerd. Hoewel de stelling van de Jordaanse kromme volkomen plausibel is – zij is zelfs fundamenteel voor vele delen van de wiskunde – is de stelling moeilijk te bewijzen. In feite is het waarschijnlijk dat weinig wiskundigen ooit een bewijs hebben gezien, omdat dergelijke bewijzen alleen maar bevestigen wat we al geloven. Het is natuurlijk goed om een bewijs te hebben, maar we vinden het niet essentieel om alle resultaten in deze cursus te bewijzen. Bij het bestuderen van het bewijs van de stelling van de kromme van Jordanië komen geen bijzonder contra-intuïtieve complicaties aan het licht, en daarom laten we het bewijs achterwege.
In deze cursus geven we aan wanneer concepten op een intuïtief niveau moeten worden begrepen, en wanneer preciezere definities, stellingen en bewijzen vereist zijn. Waar mogelijk geven we rigoureuze definities en bewijzen.