Biografie
Pafnutij Chebyshev’s ouders waren Agrafena Ivanova Pozniakova en Lev Pavlovitsj Chebyshev. Pafnoetij werd geboren in Okatovo, een kleine stad in het westen van Rusland, ten zuidwesten van Moskou. Ten tijde van zijn geboorte was zijn vader met pensioen gegaan uit het leger, maar Lev Pavlovitsj had eerder in zijn militaire loopbaan als officier gevochten tegen de invasielegers van Napoleon. Pafnoetij Lvovitsj werd geboren op het kleine familielandgoed in een familie van de hogere klasse met een indrukwekkende geschiedenis. Lev Pavlovitsj en Agrafena Ivanova kregen negen kinderen van wie sommigen in de militaire traditie van hun vader volgden.
Laten we iets zeggen over het leven in Rusland in de tijd dat Pafnoj Lvovitsj opgroeide. Er was een grote nationale trots in het land na de Russische nederlaag op Napoleon, en hun overwinning leidde ertoe dat Rusland door andere Europese landen werd bekeken met een mengeling van angst en respect. Enerzijds waren er mensen in het land die Rusland als superieur aan andere landen beschouwden en vonden dat het zich van hen moest isoleren. Aan de andere kant hadden goed opgeleide jonge Russen die in het leger hadden gediend Europa gezien, Frans en Duits leren lezen en spreken, iets van de Europese cultuur, literatuur en wetenschap geweten, en zij pleitten voor een verwestersing van het land.
Pafnutij Lvovitsj kreeg zijn eerste opvoeding thuis, waar zowel zijn moeder als zijn nicht Avdotia Kvintillianova Soukhareva zijn leermeesters waren. Van zijn moeder leerde hij de basisvaardigheden lezen en schrijven, terwijl zijn nicht als gouvernante voor de jongen fungeerde en hem Frans en rekenen leerde. Later in zijn leven zou Pafnoj Lvovitsj veel profijt hebben van zijn beheersing van de Franse taal, want daardoor zou Frankrijk een natuurlijke plaats worden om te bezoeken, zou het Frans een natuurlijke taal worden om wiskunde te communiceren op een internationaal toneel, en zou er een band ontstaan met de belangrijkste Europese wiskundigen. Alles was echter niet gemakkelijk voor de jongen, want omdat zijn ene been langer was dan het andere, liep hij mank, waardoor hij niet kon deelnemen aan veel van de normale kinderactiviteiten.
In 1832, toen Pafnoj Lvovitsj elf jaar oud was, verhuisde het gezin naar Moskou. Daar bleef hij te worden opgeleid thuis, maar hij was nu bijles in de wiskunde door P N Pogorelski die werd beschouwd als de beste elementaire wiskunde tutor in Moskou. Pogorelski was de auteur van enkele van de meest populaire elementaire wiskunde teksten in Rusland in die tijd en zeker geïnspireerd zijn leerling en gaf hem een solide wiskundig onderwijs. Chebyshev was dan ook goed voorbereid op zijn studie van de wiskundige wetenschappen toen hij in 1837 de Moskouse Universiteit betrad.
Het Russische universitaire systeem dat Chebyshev betrad had aanzienlijke veranderingen ondergaan. De Universiteit van Moskou waar hij zijn intrede deed, was opgericht in 1755 naar het voorbeeld van de Duitse universiteiten. Maar na de Russische overwinning op Napoleon was er een verwesterende beweging in het land waar we het hierboven over hadden. Alexander I, de keizer van Rusland, zag de universiteiten als kweekvijvers voor wat hij beschouwde als gevaarlijke doctrines afkomstig uit West-Europa en de universiteiten werden in de jaren 1820 onder druk gezet om personeel te ontslaan dat dergelijke doctrines onderwees. In 1833 werd onder Nicolaas I, die in 1825 Russisch keizer was geworden, een nieuwe minister van Onderwijs benoemd, die een vrijere intellectuele sfeer aan de universiteiten bevorderde, maar daar stond tegenover dat kinderen uit de lagere klassen werden uitgesloten.
Aan de universiteit van Moskou was de persoon die Chebyshev het meest zou beïnvloeden Nikolai Dmetrievitsj Brashman, die sinds 1834 professor in de toegepaste wiskunde aan de universiteit was. Brashman was vooral geïnteresseerd in mechanica, maar zijn interesses waren breed en naast cursussen over werktuigbouwkunde en hydraulica, onderwees hij zijn studenten in de theorie van de integratie van algebraïsche functies en in de kansrekening. Chebyshev erkende altijd de grote invloed die Brashman op hem had gehad tijdens zijn studie aan de universiteit, en schreef hem toe als de belangrijkste invloed bij het sturen van zijn onderzoeksinteresses, verwijzend naar hun “kostbare persoonlijke gesprekken”.
De afdeling natuurkunde en wiskunde waar Chebyshev studeerde kondigde een prijsvraag aan voor het jaar 1840-41. Chebyshev diende een verhandeling in over De berekening van wortels van vergelijkingen, waarin hij de vergelijking y=f(x)y = f (x)y=f(x) oploste met behulp van een reeksexpansie voor de inverse functie van fff. Het werkstuk werd destijds niet gepubliceerd (hoewel dat in de jaren 1950 wel gebeurde) en het kreeg slechts de tweede prijs in de competitie in plaats van de gouden medaille die het vrijwel zeker verdiende. Chebyshev behaalde zijn eerste graad in 1841 en studeerde verder voor zijn meestergraad onder supervisie van Brashman.
Eenmaal, veel later in zijn loopbaan, maakte Chebyshev bezwaar tegen het feit dat hij werd omschreven als een “voortreffelijk Russisch wiskundige” en zei dat hij toch zeker een “wereldwijde wiskundige” was in plaats van een Russisch wiskundige. Het is zeer duidelijk dat Chebyshev vanaf het begin van zijn studies voor zijn Master’s degree streefde naar internationale erkenning. Zijn allereerste verhandeling was geschreven in het Frans en ging over meervoudige integralen. Hij legde het werkstuk eind 1842 voor aan Liouville en het verscheen in 1843 in Liouville’s tijdschrift. Het bevat een formule die zonder bewijs wordt gesteld en het volgende artikel in het eerste deel van deel 8 van het tijdschrift bevat een bewijs van de door Catalan gegeven formule. De auteurs suggereren dat Chebyshev in 1842 Parijs bezocht kan hebben in gezelschap van de Russische geograaf Chikhachev, die zeker Catalan ontmoet heeft (die Liouville bijstond bij het maken van zijn dagboek) in december van dat jaar. Er is geen sluitend bewijs, maar het moet zeer waarschijnlijk zijn dat als Chebyshev in 1842 niet persoonlijk Parijs bezocht, hij zijn artikel via Chikhachev naar Liouville stuurde.
Chebyshev bleef streven naar internationale erkenning met zijn tweede artikel, weer in het Frans geschreven, dat in 1844 verscheen en door Crelle in zijn tijdschrift werd gepubliceerd. Deze verhandeling ging over de convergentie van Taylor-reeksen. In de zomer van 1846 werd Chebyshev onderzocht op zijn masterscriptie en in hetzelfde jaar publiceerde hij een op die scriptie gebaseerde verhandeling, opnieuw in het tijdschrift van Crelle. Het proefschrift ging over de theorie van de waarschijnlijkheid, en daarin ontwikkelde hij de belangrijkste resultaten van de theorie op een strenge maar elementaire manier. In het bijzonder onderzocht hij in het door hem gepubliceerde proefschrift Poissons zwakke wet van de grote getallen.
In de loop van 1843 maakte Chebyshev een eerste ontwerp van een proefschrift dat hij wilde indienen om het recht te verkrijgen om college te geven zodra hij een geschikte positie had gevonden. Het waren moeilijke tijden en Moskou had geen geschikte plaatsen voor Chebyshev, maar in 1847 werd hij aangesteld aan de Universiteit van Sint-Petersburg, waar hij zijn dissertatie over integratie met behulp van logaritmen indiende. Daarin veralgemeende hij methoden van Ostrogradski om aan te tonen dat een vermoeden van Abel uit 1826 over de integraal van f(x)/√R(x)f(x)/√R(x)f(x)/√R(x), waarbij f(x)f(x)f(x) en R(x)R(x)R(x) polynomen zijn, waar was. In een verslag dat hij schreef over een bezoek aan Parijs in 1852, beschreef Chebyshev hoe hem gevraagd werd de ideeën verder uit te werken (zie bijvoorbeeld ):-
Liouville en Hermite opperden het idee om de ideeën waarop mijn proefschrift was gebaseerd verder uit te werken. … in het proefschrift beschouwde ik het geval waarin het differentiaal onder de integraal de vierkantswortel van een rationale functie bevat. Maar het was in verschillende opzichten interessant om die principes uit te breiden tot een wortel van om het even welke graad.
Hoewel Chebyshevs proefschrift pas na zijn dood werd gepubliceerd, publiceerde hij in 1853 een artikel met enkele van de resultaten ervan.
Tussen zijn aankomst in Sint-Petersburg en deze publicatie in 1853 publiceerde Chebyshev enkele van zijn beroemdste resultaten over getaltheorie. Hij schreef een belangrijk boek Teoria sravneny over de theorie van congruenties dat hij indiende voor zijn doctoraat en dat hij verdedigde op 27 mei 1849. Dit werk kreeg ook een prijs van de Academie van Wetenschappen. Hij werkte samen met Bunyakovsky aan een volledige uitgave van Eulers 99 getaltheoretische verhandelingen, die zij in 1849 in twee delen publiceerden. Chebyshevs werk over priemgetallen omvatte de bepaling van het aantal priemgetallen dat een bepaald getal niet overschrijdt, gepubliceerd in 1848, en een bewijs van Bertrands vermoeden.
In 1845 stelde Bertrand dat er altijd minstens één priemgetal was tussen nnn en 2n2n2n voor n>3n > 3n>3. Chebyshev bewees het vermoeden van Bertrand in 1850. Chebyshev kwam ook dicht bij het bewijs van de Priemgetalstelling, Hij bewees dat als
(met π(n)\pi (n)π(n) het aantal priemgetallen ≤ nnn) een limiet heeft als n→∞n \tot \inftyn→∞ dan is die limiet 1. Hij kon echter niet bewijzen dat
bestaat. Het bewijs van dit resultaat werd pas twee jaar na Chebyshevs dood voltooid door Hadamard en (onafhankelijk van hem) de la Vallée Poussin.
Chebyshev werd in 1850 bevorderd tot buitengewoon hoogleraar in Sint-Petersburg. Twee jaar later, tussen juli en november 1852, bezocht hij Frankrijk, Londen en Duitsland. Wij hebben hierboven zijn verslag van die reis vermeld, waarbij hij de gelegenheid had verschillende stoommachines en hun mechanica in de praktijk te onderzoeken. Zijn verslag behandelt zijn studies van de toegepaste mechanica, alsook zijn gesprekken met Franse wiskundigen waaronder Liouville, Bienaymé, Hermite, Serret, Poncelet, en Engelse wiskundigen waaronder Cayley en Sylvester. In Berlijn ontmoette hij Dirichlet:-
Het was voor mij van groot belang om kennis te maken met de gevierde geometer Lejeune-Dirichlet. … vond elke dag een gelegenheid om met deze geometer te praten, zowel over zuivere als toegepaste analyse. … met bijzonder genoegen een van zijn lezingen over theoretische mechanica.
In feite stamt Chebyshevs belangstelling voor zowel de theorie van mechanismen als voor de theorie van benaderingen af van zijn reis in 1852. Tikhomirov bestudeerde Chebyshevs werk over de benaderingstheorie en schrijft:-
Chebyshev … legde de grondslagen van de Russische school van benaderingstheorie: wij tonen de relatie van Chebyshevs ideeën over benaderingstheorie tot toegepaste problemen (theorie van mechanismen en computationele wiskunde).
Papers die als direct gevolg van de reis ontstonden, waren onder meer Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes, gepubliceerd in 1854. In dit werk verschenen voor het eerst zijn beroemde Chebyshev-polynomen, maar later ontwikkelde hij ook een algemene theorie van orthogonale polynomen. In Roy bespreekt zijn bijdragen aan over orthogonale veeltermen en plaatst het werk in zijn historische context:-
Chebyshev was waarschijnlijk de eerste wiskundige die het algemene concept van orthogonale veeltermen erkende. Een paar bijzondere orthogonale veeltermen waren vóór zijn werk bekend. Legendre en Laplace waren de Legendre-polynomen tegengekomen in hun werk over hemelmechanica aan het eind van de achttiende eeuw. Laplace had de Hermite-polynomen gevonden en bestudeerd in de loop van zijn ontdekkingen in de waarschijnlijkheidsrekening aan het begin van de negentiende eeuw. Andere geïsoleerde gevallen van orthogonale veeltermen die in het werk van verschillende wiskundigen voorkomen, worden later genoemd. Het was Chebyshev die de mogelijkheid zag van een algemene theorie en de toepassingen ervan. Zijn werk vloeide voort uit de theorie van de kleinste kwadraten en de waarschijnlijkheid; hij paste zijn resultaten toe op interpolatie, benaderde kwadratuur en andere gebieden. Hij ontdekte de discrete analogie van de Jacobipolynomen, maar het belang daarvan werd pas in deze eeuw erkend. Zij werden door Hahn herontdekt en bij hun herontdekking naar hem genoemd. Geronimus heeft erop gewezen dat Chebyshev in zijn eerste artikel over orthogonale veeltermen reeds beschikte over de Christoffel-Darboux formule.
De reis die Chebyshev in 1852 ondernam was er een van vele. Naast de door ons genoemde wiskundigen die hij op die reis ontmoette, had hij ook contacten met andere Europese wiskundigen zoals Lucas, Borchardt, Kronecker, en Weierstrass (zie bijvoorbeeld ). Bijna elke zomer reisde Chebyshev in West-Europa, maar als hij dat niet deed, bracht hij de zomer door in Catherinenthal bij Reval (nu bekend als Tallinn in Estland). We hebben geen volledige informatie over zijn vele West-Europese bezoeken, maar we weten wel dat hij tussen 1873 en 1882 het woord voerde op zittingen van de Franse Vereniging voor de Bevordering van de Wetenschap, waarbij hij zestien verslagen presenteerde. Hij was aanwezig op de bijeenkomsten in Lyon in 1873, Clermont-Ferrand in 1876, Parijs in 1878, en La Rochelle in 1882. Naast zijn reis naar Frankrijk in 1852 en de zojuist genoemde reizen tussen 1873 en 1882, hebben we verslagen van bezoeken die hij bracht in 1856, 1864, 1884 en 1893. Het bezoek van 1884, waarbij hij waarschijnlijk een aantal Europese universiteiten bezocht, eindigde aan de Universiteit van Luik, waar hij de feestelijkheden leidde ter ere van de pensionering van Catalan.
We hebben enkele bijdragen genoemd die Chebyshev heeft geleverd aan de theorie van de waarschijnlijkheid. In 1867 publiceerde hij een artikel over gemiddelde waarden, waarin hij de ongelijkheid van Bienaymé gebruikte om een veralgemeende wet van de grote getallen te geven. Als gevolg van zijn werk op dit gebied staat de ongelijkheid tegenwoordig vaak bekend als de ongelijkheid van Bienaymé-Chebyshev. Twintig jaar later publiceerde Chebyshev On two theorems concerning probability, die de basis vormen voor de toepassing van de kansrekening op statistische gegevens, door de centrale limietstelling van de Moivre en Laplace te veralgemenen. Hierover schreef Kolmogorov (zie bijvoorbeeld ):-
De belangrijkste betekenis van het werk van Chebyshev is dat hij er steeds naar streefde om in de vorm van ongelijkheden die absoluut geldig zijn onder om het even welk aantal proeven, de mogelijke afwijkingen van limietregulariteiten exact te schatten. Verder was Chebyshev de eerste die duidelijk begrippen als “toevalsgrootheid” en zijn “gemiddelde verwachtingswaarde” heeft geschat en gebruikt.
Laten we nog een paar andere aspecten van Chebyshevs werk noemen. In de theorie van integralen veralgemeende hij de beta-functie en onderzocht integralen van de vorm
Andere onderwerpen waaraan hij bijdroeg waren de constructie van landkaarten, de berekening van meetkundige volumes, en de constructie van rekenmachines in de jaren 1870. In de mechanica bestudeerde hij problemen bij het omzetten van roterende beweging in rechtlijnige beweging door mechanische koppeling. De parallelle beweging van Chebyshev zijn drie gekoppelde staven die een rechtlijnige beweging benaderen. Hij schreef vele verhandelingen over zijn mechanische uitvindingen; Lucas exposeerde modellen en tekeningen van enkele daarvan in het Conservatoire National des Arts et Métiers in Parijs. In 1893 werden zeven van zijn mechanische uitvindingen tentoongesteld op de Wereldtentoonstelling in Chicago, georganiseerd om de 400e verjaardag van de ontdekking van Amerika door Christoffel Columbus te vieren, waaronder zijn uitvinding van een speciale fiets voor vrouwen.
Een aantal beroemde wiskundigen kregen les van Chebyshev en gaven een beschrijving van hem als lector. Het eerste citaat dat we geven is van Lyapunov die in de jaren 1870 lezingen van Chebyshev bijwoonde. Het citaat komt op een aantal plaatsen voor (zie bijvoorbeeld of ):-
Zijn colleges waren niet omvangrijk, en hij hield zich niet bezig met de hoeveelheid geleverde kennis; hij streefde er veeleer naar enkele van de belangrijkste aspecten van de problemen waarover hij sprak te verhelderen. Het waren levendige, boeiende lezingen; curieuze opmerkingen over de betekenis en het belang van bepaalde problemen en wetenschappelijke methoden waren er altijd in overvloed. Soms maakte hij een opmerking terloops, in verband met een concreet geval dat zij hadden overwogen, maar de deelnemers hielden die altijd in gedachten. Bijgevolg waren zijn lezingen zeer stimulerend; de studenten kregen bij elke lezing iets nieuws en wezenlijks; hij onderwees bredere zienswijzen en ongebruikelijke standpunten.
Ons tweede citaat betreffende Chebyshev als leraar komt uit de geschriften van Dmitry Grave die in de jaren 1880 lezingen van Chebyshev bijwoonde (zie bijvoorbeeld ):-
Chebyshev was een geweldige lector. Zijn lessen waren erg kort. Zodra de bel klonk, liet hij onmiddellijk het krijt vallen en verliet hinkend de aula. Aan de andere kant was hij altijd punctueel en niet te laat voor de lessen. Bijzonder interessant waren zijn uitweidingen, wanneer hij vertelde over wat hij in het buitenland had gezegd of over het antwoord van Hermite of anderen. Dan spande het hele auditorium zich in om geen woord te missen.
Laten we citeren uit een lezing die Chebyshev in 1856 gaf en waarin hij uitlegde hoe hij de wisselwerking zag tussen de zuivere en de toegepaste kant van de wiskunde. Het is een interessant citaat, want veel van Chebyshevs werk in de wiskunde werd gedaan volgens deze principes (zie bijvoorbeeld of ):-
De nauwere onderlinge toenadering van de gezichtspunten van theorie en praktijk brengt de meest heilzame resultaten, en het is niet uitsluitend de praktische kant die er beter van wordt; onder haar invloed ontwikkelen de wetenschappen zich in die zin dat deze toenadering nieuwe studieobjecten of nieuwe aspecten oplevert in onderwerpen die al lang bekend waren. Ondanks de grote vooruitgang van de wiskundige wetenschappen dankzij het werk van de uitstekende wiskundigen van de laatste drie eeuwen, brengt de praktijk duidelijk hun onvolmaaktheid in vele opzichten aan het licht; zij stelt problemen voor die in wezen nieuw zijn voor de wetenschap en daagt dus uit tot het zoeken naar geheel nieuwe methoden. En als de theorie veel wint bij nieuwe toepassingen of ontwikkelingen van oude methoden, dan is de winst nog groter wanneer nieuwe methoden worden ontdekt; en hier vindt de wetenschap een betrouwbare gids in de praktijk.
Wat Chebyshevs persoonlijke leven betreft, hij is nooit getrouwd geweest en woonde alleen in een groot huis met tien kamers. Hij was rijk en gaf weinig uit aan dagelijks comfort, maar hij had één grote liefde, namelijk die van het kopen van onroerend goed. Daaraan gaf hij het grootste deel van zijn geld uit, maar hij steunde wel financieel een dochter die hij niet officieel wilde erkennen. Hij bracht wel tijd door met deze dochter, vooral nadat zij met een kolonel was getrouwd. Chebyshev ontmoette haar en haar man vaak in Rudakovo ten huize van zijn zuster Nadiejda.
Chebyshev ging in 1882 met pensioen als hoogleraar aan de Universiteit van Sint Petersburg; hij was 22 jaar eerder in deze functie benoemd. Hij had in de loop van zijn carrière vele onderscheidingen gekregen en er zouden er nog een paar volgen. Hij werd junior academicus van de Academie van Wetenschappen van Sint-Petersburg in 1853 met de leerstoel toegepaste wiskunde, buitengewoon academicus in 1856 en gewoon academicus in 1859, opnieuw met de leerstoel toegepaste wiskunde. Hij werd verkozen tot Correspondent Lid van de Société Royale des Sciences de Liège in 1856, van de Société Philomathique, eveneens in 1856, van de Berlijnse Academie van Wetenschappen in 1871, van de Academie van Bologna in 1873, van de Royal Society of London in 1877, van de Italiaanse Koninklijke Academie in 1880, en van de Zweedse Academie van Wetenschappen in 1893. In 1860 werd hij gekozen tot Correspondent Lid van het Institut de France en in 1874 tot buitenlands geassocieerd lid van het Institut. Bovendien verkozen alle Russische universiteiten hem tot erelid, werd hij erelid van de Academie voor Artillerie van Sint-Petersburg en ontving hij het Franse Légion d’Honneur.