Appendix A: Further insights into crista and hair cell spatial organization

クリスタのグローバルな形状は種によって様々である。 魚類や両生類などの無脊椎動物や爬虫類、鳥類、哺乳類などの無脊椎動物について記述されている。

魚類では、すべてのSCCのクリスタは鞍形で中央部が狭くなっている。 垂直方向のSCCでは、クリスタは境界の2つの構成要素でより広い（planum semilunatumと命名）。 カエルでは、垂直SCCのクリスタはダンベル型で、その中央部に弓形の面が目立つが、側線管のクリスタは一端にクラブ状の受容帯が1つ配置されている。 この拡大された受容域から、単一の杯状塊が壁に沿って突出して頂点に達し、クリスタ受容域の残りからやや薄い部分が生じて杯の主要部分を完成させる（Hillman 1974）。

羊膜類では、たとえばスケート、トカゲ、カメ、ハト、ほとんどのげっ歯類（マウス、ラット、スナネズミだがチンチラは除く）、ネコ、サル、ヒトでは、垂直管（後および前）のクリスターはダンベルの形状を持つことがある。 これらは2つの半クリスタがあり、それぞれ中央のゾーンを持ち、十字隔壁で隔てられている（図2; Lindeman 1969）。 この場合、杯は受容器基部から2つの弓状の塊として伸びており、中心部を横切ってより薄い領域で結ばれている。 これに対し、水平管は一般に中央部が1つだけである。 水平管は進化の過程でより最近出現し、その発生に異なる遺伝子発現を利用しているため、水平管と垂直管の形態的な違いは驚くべきことではない。

ランドルトら（1972）がハトで行った形態学的研究により，前膜小体および後膜小体のクリステの表面形状が側膜小体のそれとは大きく異なることが明らかになった． 上から見ると、縦管に付随する膜腔の中身は十字架を連想させるような形をしている。 この十字架の短い方の腕は、2つの突起である十字架上と、その間のへそである隔壁（torus septi）で構成されている。 このように、それぞれの膨大部には形態的に「2つの十字架」が存在する。 この「2つのクリスタ」はそれぞれ鞍型であるが、側膜部のクリスタ・アンプラリスは膜部内腔の短軸を横切るV字型の隆起で、カテノイドのような形状をしている。 しかし、3つの膜様管では、Crista ampullarisはtorusに対する内側平面に対して両側対称性を示し、さらにcupulaに平行な内側横断面に対して両側対称性を示す（図2、パネルc）

Crista ampullarisは、管高の1/3に達し、神経上皮、血管および神経線維が存在する。 神経上皮は有毛細胞と支持細胞で構成され，その大部分がクリスタの生体力学的性質とキューポラのゲルのレオロジー的性質に関与している。

クリスタ上の有毛細胞

有羊膜類では、少なくとも2種類の有毛細胞（HC）が存在する。I型細胞はクリスタ上皮の内側で求心性ニューロンの樹状突起に包まれているが、II型細胞はブトン終末に接触している（Wersäll 1954, 1956）。 (哺乳類の求心性ニューロンの大半は、タイプIとタイプIIの両方のHCに接触する二型性であることに注意されたい)。 しかし、主な生理的勾配は上皮内の位置によって与えられる。例えば、クリスタでは、ほとんどの位相性細胞は中心にあり、より緊張性の細胞は周辺にある (Goldberg and Brichta 1998; Eatock and Songer 2011)。 鳥類ではI型HCはクリスタの中心に限定されているが、哺乳類ではI型HCはいたるところに存在し、霊長類ではクリスタ全体でI型細胞が優勢である（リスザルのLysakowski and Goldberg 2008を参照）。 しかし、哺乳類のクリスタには、中心部、中間部、周辺部の3種類の求心性ニューロンとHCの生理・形態が同心円状に組織されている。

有毛細胞密度はクリスタ表面で均一ではなく、中心部より周辺部で著しく高い（Hillman 1974; Lindeman 1969）。 中心部と周辺部の密度差はタイプIの細胞でより顕著であり，タイプIIの細胞はクリスタの頂上と周辺部の間でより均一に分布していた（Goldberg and Brichta 1998）。 毛束はクリステの周辺部よりも中央部の方が短い（Njeugna et al. 1996も参照）。

HCの毛束（HB）は前庭末端器官，運河のクリステあるいは耳石の黄斑のすべての上皮に対して様々な形態と生理的特徴を有している（Brichta et al. 2002）。

1つのHBのステレオ繊毛はHCの頂点に規則正しく挿入され、それらは少なくとも基部接続、側部接触、先端リンクの3つの方法で相互接続されている（Howardら、1988）。 また，束のたわみは同期的でコヒーレントであることが証明された(Kozlov et al. 2006)。

いくつかの研究により，キノシリウムがキュープラ殻に挿入され，ベールや管を形成して立体繊毛とキュープラ下空間とをつなぐフィラメントが報告されている (Suzuki et al.)。 1984; Rüsch and Thurm 1989）。

杯膜の構造

杯膜はSteinhausen（1933）によって初めて正確に記述され、膜の屋根から側壁に伸びるゼラチン状の物質であることが示された。 Zalin (1967)は，杯が延髄の屋根に吊り下げられていると提唱した。 Dohlman (1971)はcupulaがピストンのように動いているとし，内リンパ液がcristaに沿ってではなく，ampullaの屋根で循環していると提案したが，その後（1977，1980），内リンパがsubcupular spaceで循環しているという異なる見方を示した。 Rüsch and Thurm (1989)は、カップラantrum内の液体の組成が異なることを支持する議論を行った(Muller 1999)。

ヒキガエルでは、山内ら(2001)が、カップラが屋根から切り離され、クリスタの境界で付着したままになることを示している。

さらにDohlman (1977, 1980) は、立体糸とカップラとを結びつける糸や管のような硬質構造物があることを提案した。 このようなフィラメント状の構造はSuzukiら（1984），Rüsch and Thurm（1989），Takumida（2001）でも観察されている。 しかし，この構造は種差に依存する可能性がある。 例えば，Silverら(1998)は，ヒキガエルにはこのような構造がないことを報告している。 807>

カエルの研究であるHillman and McLaren (1979)やカエルアンコウの研究であるSilverら(1998)から、カップラ複合体は4つの部分からなることが推測される（Fig.3）。 3）：左右の側翼、中央の関節柱（杯状殻を形成）、クリスタ近くの杯状肛門の4つの部分からなり、等方性ゲルで満たされ、縦に走るコラーゲンで補強されている（哺乳類については Hunter-Duvar and Hinojosa 1984 を参照）。 杯殻は結合組織繊維でできており、密に詰まっていて架橋されている。

杯状突起は、感覚有毛細胞の先端面から発生する有毛細胞束（複数のステレオ繊毛と1本のキノ繊毛で形成）が突出する水性媒体を含む（Hillman and McLaren 1979）。 このゲルは、ヒキガエル（Silver et al. 1998）のように物質がないこともあるが、モルモット（Takumida 2001）のように連結構造でいっぱいになっていることもある。 モルモットでは、Wersäll（1956）がHCバンドルが存在する微細な垂直運河について述べている。 この結合性細線維と繊毛の集合体を、Takumida (2001) は、subcupular meshworkと呼んでいる。 これは細胞外の高度に特殊化した物質の塊である(Landolt et al. 1972; Silver et al. 1998)。

Takumida は感覚有毛細胞とキュプラの機能的関係を提案した (Takumida 2001)。 彼の観察によると、キュプラ殻の高度に架橋された等方性の質感は、この層が剛体板として機能し、キュプラ全体の大きなバルクによる慣性の力をすべての感覚毛束に均等に分散させうることを示す。 キューポラの相対的な加速度によるせん断応力は、キューポラ自体のせん断ひずみとなる。 キューポラの運動によるエネルギーは、直接あるいはキューポラ下網目を通して間接的に感覚毛に伝達される。 この匠田の観察が、我々の不変性仮説の主な根拠である。 実際、キュープラシステムの機能は、3次元のキュープラの変形を1次元の有毛細胞の屈曲に変換することであり、匠田の力の等配仮説は、1パラメーターの対称群による次元縮小の仮説であると解釈している。

キュープラモデル

現在、キュープラは圧力勾配を受けると横隔膜のように変位するという実験的証拠がある（Hillman and McLaren 1979; Yamauchi et al.2001）

標準理論は、キュープラはドラム膜に類似しているとする（Landolt et al.1972). またVan Buskirk (1976)は銅板を横隔膜のような形で延びる弾性膜としてモデル化した。 (キュープラモデルについてはMcLaren and Hillman 1979; Hillman and McLaren 1979も参照)

ウシガエルキュープラで行った実験から、McLaren and Hillman (1979), Hillman and McLaren (1979) はキュープラ基部がクリスタの表面を滑り、クリスタとキュープラの間のサブキュプラ空間をせん断すると示唆した。 なお、cristaの横幅全体にかかる剪断歪は、cupula wingの横方向の変位に応じて、すべての有毛細胞に対して同時に興奮性または抑制性になる(Rabbitt et al. 2001)。

Kondrachuk et al. (1987) ではcupulaの時間経過変動の数学モデルを与え、特に膜モデルの適用可能性についてcupulaの粘弾性の特性を論じている。 その他（例． Astakhova 1989, 1990）は、粘性流体（内リンパ）中の弾性ピストン（キュプラ）からなる系と考えた。

Vega ら（2008）は、2つのモデルの比較を行い、周期的刺激下でのキュプラ挙動ダイナミクスが、ピストンモデルと膜キュプラモデルのいずれでも同等であることを実証している。

そのため、最大cupular変位はampullaの幾何学的中心付近で起こるが、最大shear strainはまさに感覚毛束がcupulaに突出するレベルで起こることがわかった。 この点は、(Muller 1999)の研究で強調されている。 最終的に伝達チャンネルのゲーティングを行うのは隣接する繊毛間の相対的な変位であるため、キューポラのせん断ひずみは有毛細胞の活性化に理想的に適していると思われる。 頭部が振動回転する場合、管内の流体とキューポラの結合ダイナミクスから、キューポラの横方向の変位が頭部の角速度に比例し、それと同位相になる臨界周波数帯の存在が示唆される（Wilson and Melvill Jones 1979; Rabbitt et al.2001）。 この帯域では、せん断ひずみは、キューポラのレベルでの体積変位に比例する。 Highsteinら(2005)とRabbittら(2001)はその点のシミュレーションを行った。

キュープラは(i)一定の剛性を持ち静止位置からの変形に抵抗する、(ii)粘性を持ち静止位置からの変形率に抵抗する、(iii)空間的に非一様の偏位フィールドを持っているという実験証拠がある (Damiano and Rabbitt 1996)． 回転剛性(K)は(SI)単位で、(K = 7.1 \cdot 10^{-11}) N m/rad (Grant and Van Buskirk 1976)である。 盃状突起は完全に膨大部の断面を覆っている。 これは比較的厚い構造であるが（高さの3分の1、例えばアクソロトルでは高さ0.45mmに対して幅0.15mm、Vega et al.2008）、Damiano and Rabbitt（1996）にも見られる制限的仮定で、厚さ方向に均一に変形すると仮定している。 これはTakumida (2001)が提案した機能計画に合致する。

本研究では、碗骨系を非均質なニュートン粘弾性固体としてモデル化し、翼（または二つの側壁）、碗骨固有部（または二つの碗骨柱）、碗骨前部、クリスタの4つの均質な領域から構成されている。 このantrumのゲルの非圧縮性はSelvaら（2009）；Yamauchiら（2001）；Kassemiら（2005）により肯定されている。

本研究のほとんどはantrumに関するもので、ハイドロゲルと見なす（Selvaら、2009）。 したがって、碗器の均質性は仮定していないが、クリスタ近傍の碗器の底部（antrum）の均質性を仮定している。 この仮説は、ほとんどのモデル論文で明示的になされている（Selva et al.2009; Vega et al.2008; Damiano 1999）。 cupulaでの変位は数マイクロメートル、頻繁に十数ナノメートルの問題であるので、我々のモデル方程式は線形フックの法則に対応するだろう。

Appendix B: Analysis and demonstrations

The tensor \(\sigma ^{ij}\) is symmetric (i.e……), \⑯）である。

Cupula antrumは線形粘弾性モデルであり、非圧縮性であると仮説を立てた。 \sigma ^{ij}(x,t)=2mu (x)u^{ij}(x,t)+theatlambda (x)Tr(u)g^{ij}(x,t), \end{aligned}$$

感覚上皮の境界条件は、各区画の境界、すなわち、杯状繊維と杯状突起、杯状突起とクリスタの間の力の平衡を表す：

The dynamic is described by Newton law, の発散と、印加された力と変位の共変加速度の和を等しくし、慣性力である。 これは、変位が最大となる平衡位置において、式(17)と式(19)で表される。

もう一つの式は非圧縮性を表す式(18)である。

運動中、碗壁の圧力差によって碗壁が動き、蟻道内部のエネルギー密度が変動する。 \ΔE}=Tmathrm{d}S+sum_{ij}Σ^{ij}(x,t), \end{aligned}$$

運動エネルギーの全変動は式（21）で示される。 そこから、キュプラの粘性によるエネルギー散逸は、最大の変位に対するテンソルⒶの平方ノルムの積分に比例することが推論される。 この式は粘弾性流体、メモリー効果、緩和効果のいずれにおいても異なることはないだろう。 クリスタ上皮に作用する剪断力は、法線ベクトルに沿って、成分 \((\sigma .\mathbf{n})^{i}=sum _j\sigma ^{ij}n_j}) であり、HCによる情報の伝達は、この積分にゼロ以外の寄与を与えることを意味する。 エネルギー損失を最小にしたいのであれば、不変性という制約のもとでこの項を計算すると、 \(u_{13}) の全表面は最小でなければならないことがわかる。

粘弾性固体のKelvinモデルや粘弾性流体のMaxwellモデルでも同じ証明で同様の結果が得られるはずである。 非線形モデルでも、平衡状態、最大変位では、線形系によく近づくので、この結果は正当化される。 しかし、非線形モデルでは、エネルギー損失の他の原因を考慮しなければならない。

静力学から幾何学へ

第2節の表記と仮説を採用する。

4つの平衡方程式：

Hodge operator としては、

and

Then

This gives:

Proof of second corollary of Proposition 4

This follows from the hypothesis that \(u^{13}) is invariant by \(Partial _1}). \(square _1)

Proof of Proposition 5

Remark that minimality implies also that \(n^{0}_1.n^{0}_2=0}, thus \(g_{12}) has no component of order two.

sequently, at order one in \(x_3}, (Eq.) is not disclosed. 72)からは

where \(c) does not be coefficient of \(x_3^{3}) in \(\beta ^{2}}). この結果は次のようになります。 \(c)

Proof of Proposition 6

thus

We know from Proposition 3 that