二つの位相空間（X、TX）と（Y、TY）は、与えられた位相に関して連続であり、その逆関数f-1も連続である双射f : X → Yが存在する場合、同相である；そのような関数fは同相と呼ばれる。 位相空間間の「に同型である」という関係は位相幾何学の最も基本的な関係であり、同型である二つの位相空間は位相幾何学的に区別がつかない、つまり位相的に等価であるからである。 同相の別の定義として、双射 f : X → Y は、f と f-1 がともに開集合を開集合に写す場合にのみ、同相となる。 したがって、(X, TX) と (Y, TY) が同相なら、X と Y の要素は一対一対応であるだけでなく、それらの開集合も一対一対応である。 したがって、(Y, TY)は、その純粋な位相的性質に関する限り、(X, TX)と本質的に同じ空間であると見なすことができる。 (X, TX)と(Y, TY)は同じ空間を表現する二つの異なる方法にすぎない。

したがって、与えられた二つの位相空間が同相であるかどうかを決定できることは有用である。 もちろん、それらの間に特定の同相を見つけることができれば、問題は解決しますが、同相を見つけることができなければ、同相がないことを推論することはできないのです。 ですから、特定の同型性を探すことは、最良の方法とは言えないかもしれません。 私たちが欲しいのは、2つの与えられた曲面が同相かどうかを、それらの間に特定の同相を構成しようとしなくてもわかるような基準です。

似たような状況で、何が関係しているかを明らかにするのに役立つのは、次のようなものです。 距離を保存する計量空間間の写像はアイソメトリと呼ばれ、アイソメトリによって関係付けられる計量空間の2つの部分集合は、その計量的な性質に関する限り、本質的に同じである。 例えば、2 の楕円の集まりをユークリッド計量で考えてみましょう。 二つの楕円は、長軸の長さが同じで、短軸の長さが同じであれば、等尺性である(図1参照)。 この2つの基準により、2つの楕円の間に特定の等値性を構築しなくても、単に軸の長さを比較するだけで、2つの楕円が等角であるかどうかを判断することができます。 長軸と短軸の長さによって、2 の楕円が等尺性まで分類されると言う。

「2 の楕円を等尺性まで分類する」という表現で、検討対象の図形クラス（2 の楕円）を特定していることに注意されたい：我々の基準は平面上のこれらの特定の図形にのみ適用し、他の図形を同様に等尺性に分類できるとは言っていないのである。 9086>

等尺楕円

このコースでは、コンパクト曲面と呼ばれる曲面のクラスを定義し、与えられた二つのコンパクト曲面が同相であるかどうかを決定する基準を明らかにすることが主要課題となっています。 これらの曲面は、これから示すように、わずか3つの基準で分類することができます。 実際、2の楕円を、たった2つの数値（長軸と短軸の長さ）を指定することで等値性まで分類できるように、すべてのコンパクト曲面をたった3つの数値で同相性まで分類することができるのです。 この定理（分類定理）については、後で述べます。 分類定理を述べる前に、曲面の例を挙げ、どのように操作し、定義し、表現できるかを示し、その重要な性質のいくつかを調べる。

このコースで曲面を探求する精神は、曲面の理論が位相の他の部分とどのように関連しているかから生まれ、それはこれらのテーマの歴史に反映されています。 曲面を研究する場合、直感的な概念で長い道のりを進むことができ、このテーマはしばしばその方法で研究されてきました。 今日、我々は、直感に訴える定理が厳密に証明されることを確信して、これらの直感に訴えることができる。 実際、文献に現れる正確な定義や厳密な証明は、幾何学的位相幾何学にそぐわないような微妙で難しい議論を含んでいることが多く、基本的な概念の理解にほとんど寄与していないかもしれない。

たとえば、いわゆるヨルダン曲線の定理は、平面上で円に同相な曲線は、平面を境界のある領域（曲線の「内側」）と境界のない領域（「外側」）に分割すると主張するもので、図2には、平面上でそのような曲線Cを、内側の影をつけて示しています。 ヨルダン曲線の定理は、数学の多くの部分で基本となっているが、その証明は困難である。 なぜなら、そのような証明は、私たちがすでに信じていることを確認するだけだからである。 もちろん、証明があるに越したことはないが、この講座で扱うすべての結果を証明することは必須とは考えていない。 図2

このコースでは、直感的に理解できる概念と、より正確な定義や定理、証明が必要な概念を示しています。 可能な限り、厳密な定義と証明を提供する

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