Page

Written by on in Articles

A funkcionális egyenlet nagyjából olyan egyenlet, amelyben a megoldandó ismeretlenek egy része függvény. Például a következők funkcionális egyenletek:

  • $f(x) + 2f\left(\frac1x\right) = 2x$
  • $g(x)^2 + 4g(x) + 4 = 8\sin{x}$

.

Bevezető témák

A függvény inverze

A függvény inverze olyan függvény, amely egy függvényt “visszafordít”. Példaként tekintsük a következő függvényt: $f(x) = x^2 + 6$. A $g(x) = \sqrt{x-6}$ függvénynek az a tulajdonsága, hogy $f(g(x)) = x$. Ebben az esetben $g$ a (jobb oldali) inverz függvénynek nevezzük. (Hasonlóképpen a $g$ olyan függvényt, hogy $g(f(x))=x$, balra fordított függvénynek nevezzük. Általában a jobb és bal inverz egy megfelelő tartományon egybeesik, és ebben az esetben a jobb és bal inverz függvényt egyszerűen inverz függvénynek nevezzük). Gyakran egy $f$ függvény inverzét $f^{-1}$-vel jelöljük.

Közepes témák

Ciklikus függvények

A ciklikus függvény olyan függvény $f(x)$, amely rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy:

$f(f(\cdots f(x) \cdots)) = x$

Az ilyen függvény klasszikus példája: $f(x) = 1/x$, mert $f(f(x)) = f(1/x) = x$. A ciklikus függvények jelentősen segíthetnek a funkcionális azonosságok megoldásában. Tekintsük a következő feladatot:

Keresd meg $f(x)$< úgy, hogy $3f(x) - 4f(1/x) = x^2$. Ebben a függvényegyenletben legyen $x=y$ és legyen $x = 1/y$. Így két új egyenletet kapunk:

$3f(y) - 4f\left(\frac1y\right) = y^2$

$3f\left(\frac1y\right)- 4f(y) = \frac1{y^2}$

Most, ha az első egyenletet megszorozzuk 3-mal, a második egyenletet 4-gyel, és a két egyenletet összeadjuk, akkor a következőket kapjuk:

$-7f(y) = 3y^2 + \frac{4}{y^2}$

Szóval, nyilvánvalóan, $f(y) = -\frac{3}{7}y^2 - \frac{4}{7y^2}$

Problémapéldák

  • 2006 AMC 12A feladat 18
  • 2007 AIME II feladat 14

Lásd még

  • Függvények
  • Polinomok
  • Cauchy függvényegyenlet

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.