A matematikusok kényszere, hogy a dolgokat egyre bonyolultabbá tegyék, egyszerre áldás és átok. A késztetésük, hogy fogjanak egy ötletet, és a lehető legmesszebbre nyújtsák, lenyűgöző új felismerésekhez vezethet. A hátránya az, hogy ahogy a matematika egyre absztraktabbá válik, és egyre nagyobb hatalmat nyer a fogalmi tudás hatalmas területeinek leírására, úgy válik egyre nehezebbé a szavakkal való leírása.
Nehéz fejjel fordítom tehát a Millenniumi Díj problémáiról szóló sorozat fókuszát a Hodge-sejtésre. Ez a matematika különböző területeinek elképesztő metszéspontja, de összefoglalni fájdalmas. Mivel ma van a matematika világnapja, egy ígérettel kezdem: amint a dolog túl bonyolulttá válik, abbahagyom, amíg előre haladok.
Az emberek már jóval azelőtt tanulmányozták az alakzatok matematikáját, hogy egy háromszög először megragadta volna Pitagorasz figyelmét Kr. e. 500 körül. A generációk során egyre bonyolultabb és bonyolultabb alakzatokat tanulmányoztak, mígnem körülbelül kétezer évvel később úgy tűnt, hogy kifogytak a lehetőségekből. A matematikusok mindent megtettek, amit csak el tudtak képzelni az alakzatokkal kapcsolatban, és eközben a mérnöki tudományoktól a perspektivikus festészetig mindent megalapoztak. Aztán 1637-ben egy okos fiatal matematikus-filozófus rájött, hogy ha egy lépéssel tovább absztraháljuk, a geometria valójában ugyanaz, mint az algebra.
A ma már a nevét viselő kartéziánus koordinátarendszert használva Descartes sokat gondolkodott azon, hogy a geometriai vonal nem más, mint számok halmaza. Az egyenletek megoldásaiként is számok halmazát adhatják ki. Ha e két számhalmaz pontosan megegyezik, akkor egy papírra rajzolt vonalat ugyanannak lehet tekinteni, mint egy egyenlet megoldását.
Ez egy vízválasztó pillanat volt a matematikában, amely lehetővé tette, hogy az algebrában kifejlesztett összes eszközt a geometriában is alkalmazzuk. Ezért volt olyan izgatott az iskolai matematikatanárod a lineáris grafikonok egyenletekké alakítása miatt: bármely tetszőleges egyenes elképzelhető egy olyan egyenlet megoldásainak halmazaként, mint az y = mx + c. Bármely kör az (x – a)2 + (y – b)2 = r2 megoldásainak halmaza. Ha most meg akarod nézni, hogy egy adott egyenes hol keresztez egy adott kört, akkor vagy geometriai úton rajzolhatod ki az alakzatokat, vagy egyszerűen algebrai úton hasonlíthatod össze az egyenleteket. Mindkét módszer ugyanazt a választ fogja adni.
A matematikusok nem elégedtek meg az egyeneseknél, és hamar rájöttek, hogy bonyolultabb egyenletek, vagy akár együttesen működő egyenletcsoportok mindenféle dimenzióban bámulatos alakzatokat eredményezhetnek. Néhányat még mindig alakzatként lehetett elképzelni – mint például azokat az egyenleteket, amelyek megoldásainak halmaza egy gyűrű felszínét, az úgynevezett tóruszt térképezi fel -, de sok közülük túlmutatott azon, amit el tudunk képzelni, és csak az algebra és egy nagyon kifeszített képzelet segítségével volt elérhető.
Mivel a matematikusok már olyan objektumokkal foglalkoztak, amelyek túlmutattak azon, amit el tudunk képzelni, ezeket az “alakzatokat” általánosan “algebrai ciklusoknak” nevezték. Ha egy algebrai ciklus szép sima és általában jól viselkedő alakzat volt, akkor kiérdemelte a “sokaság” címet is.
Ezután egyszerre két dolog történt. Először: a topológusoknak nevezett matematikusok egy csoportja elkezdte vizsgálni, hogy mi történik, ha egy sokaságra alakzatokat rajzolunk. Elképzelhetjük, hogy van egy gyűrűs fánkunk, és rajzolunk egy háromszöget pontosan a tetejére (lásd a fenti képet). Vagy esetleg egy ötszöget.
Tényleg mindkettőre szükséged van? Ha az alakzat csúszhatna és nyúlhatna, akkor a háromszöget az ötszöggé torzíthatnád. A topológusok az összes olyan alakzatot, amely egyikből a másikba torzulhat (anélkül, hogy kiemelkedne a sokaság felületéről), egy “homológia osztályba” – egyfajta általánosított alakzatba – csoportosították. Minden olyan alakzat, amely átmegy a fánk “lyukán”, egy másik homológiaosztályt alkotna.
Második lépésként matematikusok egy csoportja, akik algebraistáknak nevezték magukat, elkezdtek olyan egyenlethalmazokat venni, amelyek már szép, rendezett sokaságokat eredményeztek, és további egyenleteket hozzáadni. Ezek a további egyenletek új algebrai ciklusokat hoztak létre ezeken a sokaságokon belül.
Nem telt el sok idő, mire az emberek rájöttek, hogy a topológusok, akik homológiaosztályokat rajzolnak a sokaságokra, és az algebrai ciklusokat a sokaságokba ágyazó algebraisták valójában ugyanaz a dolog. Megismétlődött az, amikor a geometriai alakzatok először találkoztak algebrai egyenletekkel. A nehézséget az jelentette, hogy senki sem tudta biztosan, hogy egy homológiaosztály egy sokaságon mikor tartalmaz legalább egy olyan alakzatot, amely algebrai ciklusként is leírható.
Összefoglalva, a sokaság egy furcsa (esetleg nagydimenziós) alakzat, amely leírható egy egyenlethalmazzal. Ha további egyenleteket adunk hozzá, akkor kisebb alakzatokat, úgynevezett algebrai ciklusokat kapunk ezen a sokaságon belül.
A probléma a következő: ha egy sokaságra bármilyen tetszőleges – esetleg csúnya – alakzatot rajzolnánk, honnan tudnánk, hogy azt ki lehet-e nyújtani egy másik, szép algebrai ciklusként leírható alakzattá?
A skót matematikus William Hodge-nak volt egy remek ötlete arra, hogyan lehet megmondani, hogy bármely adott sokaságon mely homológiaosztályok felelnek meg egy algebrai ciklusnak. Csak bizonyítani nem tudta. Ha be tudod bizonyítani, hogy a módszere mindig működik, akkor az 1 millió dolláros díj a tiéd.
A problémám az, hogy eddig szép közönséges numerikus koordinátákról és normális térbeli dimenziókról beszéltem. A Hodge-sejtés valójában úgynevezett komplex számkoordinátákat és komplex térbeli dimenziókat használ. Tehát bármennyire is szeretném leírni nektek az egész sejtést, pontosan ez az a pont, ahol megígértem, hogy abbahagyom.”
Matt Parker a Queen Mary, University of London matematika tanszékén dolgozik, és online megtalálható a standupmaths oldalon.com
Ha többet szeretne megtudni a Hodge-sejtésről, Dan Freed (University of Texas at Austin) előadásáról készült videót ajánljuk
- Megosztás a Facebookon
- Megosztás a Facebookon
- Megosztás a következő oldalon Twitter
- Megosztás e-mailben
- Megosztás a LinkedInen
- Megosztás a Pinteresten
- Megosztás a WhatsAppon
- Megosztás a Messengeren