Bevezetés

Egy tárgy előkészítése, a rajta végzett mérés és az eredmény regisztrálása a tárgyon végzett fizikai kísérlet egyszerűsített képét alkotja. Ugyanazon eljárás többszöri megismétlése lehetővé teszi, hogy statisztikákat (relatív gyakoriságokat) gyűjtsünk a regisztrált eredményekről. A statisztikai kauzalitás gondolata azt a meggyőződést fejezi ki, hogy ez a statisztika a méréstől és az előkészítéstől függő valószínűségi mértékkel közelíthető és modellezhető.

Ezt az egyszerű képet gyakran adják intuitív háttérként a tárgyak valószínűségi fizikai elméleteinek megfogalmazásához, amelyek az állapotok (a készítmények ekvivalenciaosztályai) és a megfigyelhetőek (a mérések ekvivalenciaosztályai) fogalma közötti statisztikai dualitásra épülnek, ahol a dualitást egy valószínűségi függvény adja, amely minden állapothoz és minden megfigyelhetőhöz egy valószínűségi mértéket rendel, amely az adott állapotban az adott megfigyelhetőre vonatkozó mérési kimenetel valószínűségeit adja ki.

Az axiomatikus megközelítésben az a cél, hogy fizikailag plauzibilis struktúrákat vezessünk be az összes elképzelhető állapot (preparátum) és megfigyelhető változó (mérés) gyűjteményére úgy, hogy a valószínűségi függvény alakja meghatározható legyen.

Ebben a dolgozatban egy ilyen megközelítést vázolunk fel a kvantummechanika számára. A 2. §-ban röviden felidézzük az általános keretrendszert és a vonatkozó Hilbert-tér struktúrákat. A 3. §-ban Solér egy tételét használjuk fel az általános ortomoduláris struktúra Hilbert-térrel való azonosítására. Feltárjuk az ebben a kulcsfontosságú tételben elrejtett szimmetria szerepét. Végül áttekintünk néhány érvet, amelyek arra utalnak, hogy a kvantummechanikát egy komplex Hilbert-térben kell megfogalmazni (4. §).

Az alapstruktúrák

(a) Kiindulópont

Legyen S és O két nem üres halmaz, a vizsgálandó fizikai rendszer összes állapotának és összes megfigyelhetőjének halmaza. Egy megfigyelhetőhöz tartozik egy nem üres Ω halmaz és az Ω részhalmazainak szigma-algebrája. Legyen , vagy csak E, egy megfigyelhetőt jelöl. Az Ω halmaz alatt a megfigyelhető lehetséges mérési kimeneteleit értjük, míg a σ-algebra elemei alatt azokat a vizsgálati halmazokat értjük, amelyeken belül a kimenetek csoportjait számoljuk. A legtöbb alkalmazásban ez a halmaz a valós vonal (vagy sík) egy (nyitott vagy zárt) részhalmaza, a σ-algebra pedig a megfelelő Borel-halmaz.

Az itt követett megközelítés alapfeltevése a következő: minden α∈S állapothoz és minden E megfigyelhetőhöz létezik egy valószínűségi mérték, amely megadja az E megfigyelhetőnek az α állapothoz tartozó mérési kimenetel valószínűségeit.

Az állapotok S halmaza természetesen konvex struktúrával van felruházva, és mint ilyen, egy valós vektortér konvex részhalmazának tekinthető. Ez a struktúra lehetővé teszi, hogy megkülönböztessük a tiszta állapotokat, az S szélsőséges elemeit, és a kevert állapotokat, a nem szélsőséges elemeit. Legyen ex(S) a tiszta állapotok halmaza, bár kezdetben lehet üres is. Ha α=λβ1+(1-λ)β2 a β1,β2 állapotok keveréke, amelynek súlya 0≤λ≤1, akkor az S konvex szerkezetének definíciója szerint p(α,E,X)=λp(β1,E,X)+(1-λ)p(β2,E,X) minden E megfigyelhetőre és egy értékkészletre. Minden (E,X) pár tehát definiál egy affin függvényt S∋α↦p(α,E,X)∈. Azt mondjuk, hogy egy f:S→ affin függvény akkor kísérleti függvény, vagy hatás, ha f(α)=p(α,E,X) valamilyen (E,X) párra. Legyen E⊂S az összes kísérleti függvény halmazát jelöljük. Nyilvánvaló, hogy 0,1∈E, és ha f∈E, akkor f⊥=1-f∈E is. A függvények természetes rendje S→ E részlegesen rendezett halmaz szerkezetét adja, amelynek univerzális határai 0,1, és az f↦f⊥ leképezés involutív antiautomorfizmus. Nyilvánvaló, hogy E nem kell, hogy rács legyen (≤ tekintetében), és az f↦f⊥ térképnek nem kell, hogy ortokomplementáció legyen. Alkalmanként az állapotokat E-n függvényeknek is tekinthetjük, írva α(f)=f(α). Ezek mind a rendet, mind az involúciót megőrzik.

Kiderül, hogy az elmélet axiómáinak megfogalmazásakor az állapotok és a kísérleti függvények (S,E) párját könnyebb kezelni, mint az állapotok és a megfigyeltek párját. Megjegyezzük azt is, hogy minden f∈E, f⊥∈E-vel együtt felfogható igen-nem mérésként (vagy kétértékű megfigyelőként), ahol f(α)=p(α,E,X) és f⊥(α)=p(α,E,X′) adja meg az igen és a nem eredmény valószínűségét.

(b) Hilbert-tér esete

Mielőtt továbbmennénk az általános felépítéssel, idézzük fel a Hilbert-térben a kvantummechanika néhány jól ismert aspektusát. Tegyük fel, hogy az S állapothalmaz azonosítható a pozitív nyomjelű egyes operátorok halmazával egy komplex szeparálható Hilbert-téren . Ekkor minden f kísérleti függvény egy pozitív lineáris függvénnyel bővül a , az önadjungált nyomosztályon. Ebből következően minden f-re létezik egy olyan egyedi pozitív egységnyi korlátos operátor 0≤E≤I, hogy f(α)=tr minden α∈S-re. Legyen (E,X) egy olyan pár, amelyre f(α)=p(α,E,X)=tr. Mivel bármely α-ra az X↦p(α,E,X) leképezés egy valószínűségi mérték, ebből arra következtetünk, hogy a megfigyelhető E egy normalizált pozitív operátor mérték . Itt természetes feltételezni, hogy az összes kísérleti függvény E halmazát azonosítjuk a hatásoperátorok teljes halmazával, a pozitív egységhatárú operátorokkal.

Tegyük fel ezután, hogy az E kísérleti függvények halmaza egybeesik a vetületi ráccsal . Ebben az esetben bármely állapot tekinthető a valószínűségi mértékének. A Gleason-tétel szerint, ha bármely valószínűségi mérték a -on egy egyedi pozitív nyomvonal egy operátorból keletkezik, és ismét megvan a valószínűségek nyomvonal-képlete: bármely esetén P(α)=α(P)=tr, ahol az α állapotot azonosítjuk a Gleason-tétel által adott elemével. Ebben a megközelítésben természetes feltételezni, hogy az állapotok S halmaza egybeesik a és így összes valószínűségi mértékének halmazával, így a megfigyelhetők a normált vetületi értékű mértékekkel azonosíthatók.

Azt is feltételezhetjük, hogy a kísérleti függvények E halmazát azonosítjuk a hatásoperátorok teljes halmazával. Ekkor ismét bármely állapot, ha a részhalmazára korlátozzuk, azonosítható a valamelyik elemével, a nyomképlet pedig megadja a valószínűségeket.

Végül feltételezhetjük, hogy és bármely α:E→ állapot nemcsak a rendet és az involúciót őrzi meg, hanem részben additív is (azaz minden esetén, ha , akkor α(A+B)=α(A)+α(B)) és rendelkezik a következő folytonossági tulajdonsággal: Ha (Ai)i∈I egy növekvő háló a -ben, akkor . Ekkor – ismét Gleason-tétel alkalmazása nélkül – minden α állapot azonosítható a egy egyedi elemével, és α(E)=tr.

(c) Ortomoduláris eset

(i) Általános szerkezet

A (S,E) statisztikai dualitáson alapuló axiomatikus megközelítésben a stratégia az, hogy fizikailag plauzibilis feltevéseket teszünk az előkészületek és mérések lehetőségeire vonatkozóan. Mind a Mackey-féle megközelítés (kvantumlogika), mind a Davies-Lewis-féle megközelítés (konvexitás) osztozik ezen a közös háttéren.

A preparátumok esetében egy tipikus feltételezés a tiszta állapotok (maximális információval rendelkező állapotok) kellően nagy halmazának létezésére vonatkozik, például abban az értelemben, hogy ez a halmaz elég nagy ahhoz, hogy meghatározza a kísérleti függvények rendjét. Egy másik gyakori feltételezés, hogy a tiszta állapotok nemcsak preparálhatók, hanem megfelelő igen-nem mérésekkel azonosíthatók is. Ez a feltételezés már a dualitáson túlmenően is összekapcsolja az állapotok és a kísérleti függvények, igen-nem mérések halmazait. Az E halmaz szerkezetére vonatkozó további feltételezéseket tipikusan úgy fogalmazzák meg, hogy az igen-nem mérések egy kellően nagy L⊂E részhalmazának létezésére vonatkozó követelmény, amely ideális, elsőfajú és megismételhető méréseknek minősül.

Mackey és Davies & Lewis úttörő munkái óta a fenti típusú érveket széles körben tanulmányozták az irodalomban; lásd például a monográfiákat vagy a legutóbbi áttekintésünket . Nem ismételjük meg ezeket az érveket, hanem csak a jól ismert végeredményt közöljük:

• (a) Létezik a hatások L⊂E részhalmaza, amelyet tételeknek vagy éles hatásoknak nevezünk, és amelynek L=(L,≤,⊥,0,1) szerkezete egy részben rendezett, ortokomplementált, ortomoduláris, teljes rács, amelynek univerzális határai 0 és 1, amely atomisztikus, elválasztható, rendelkezik a fedési tulajdonsággal és irreducibilis.

• (b) Az S állapothalmaz L-en lévő valószínűségi mértékek σ-konvex halmazának tekinthető, amely rendelkezik a tiszta állapotok ex(S) elégséges halmazával: bármely a,b∈L esetén a≤b, ha α(a)≤α(b) minden α∈ex(S) esetén.

• (c) Az ex(S), az S tiszta állapotai és az At(L), az L atomjai között bijektív megfelelés van, amelyet az α↦s(α) támaszvetület ad, ahol s(α) a legkisebb olyan elem, amelyre α(b)=1,b∈L.

Itt csak a két, talán legtechnikásabbnak tűnő tulajdonságot kommentáljuk: a szeparálhatóságot és az irreducibilitást. Bármely megfigyelhető E, amelynek a hozzá tartozó kísérleti függvényei tételek (vagy éles hatások), tekinthető σ-homomorfizmusnak , amelynek tartománya L Boolean al-σ-algebrája. L elválaszthatósága azt jelenti, hogy L bármely Boolean al-σ-algebrája tekinthető egy megfigyelhető tartományának, amelynek valós értéktere . L irreducibilitása azt mutatja, hogy a (S,E) dualitás egy saját kvantumobjektumot ír le. Ez a tulajdonság ugyanis például abból a feltevésből következik, hogy bármely két tiszta α,β∈ex(S), α≠β állapothoz létezik egy harmadik γ∈ex(S), α≠γ≠β, amely a szuperpozíciójuk (pl. abban az értelemben, hogy γ támaszát α és β támaszainak egyesítése tartalmazza).

A ⊥ leképezés, ha L-re korlátozzuk, valóban ortokomplementáció, és L-t ortomodulárissá teszi; vagyis bármely a,b∈L esetén, ha a≤b, akkor b=a∨(a∧b⊥). Emlékeztetünk arra, hogy a és b kölcsönösen ortogonálisnak mondjuk a⊥b, ha a≤b⊥. Ezek a struktúrák teszik lehetővé, hogy valószínűségi mértékeket definiáljunk L-en. Jelölje Prob(L) az összes valószínűségi mérték halmazát L-en; vagyis az összes olyan μ:L→ leképezést, amelyre bármely páronként ortogonális elemek ai∈L sorozatára . A (b) pont szerint az S állapotok halmaza a Prob(L) egy szigma-konvex részhalmaza, és a (c) pont szerint a tiszta állapotok egy-egy onto megfelelésben vannak L atomjaival. Bár nyilvánvaló, hangsúlyozzuk, hogy az állapotok halmaza lehet az összes valószínűségi mérték saját részhalmaza L-en.

A fenti (a) pont tulajdonságaival rendelkező tételek L halmaza köztudottan megenged egy vektortér-koordinációt.

(ii) Ortomoduláris tér megvalósítása

Legyen (V,K,*,f) egy hermitiánus tér, azaz V egy (baloldali) vektortér egy K osztógyűrű felett, a K∋λ↦λ*∈K leképezés involutív antiautomorfizmus, és a V ×V ∋(u,v)↦f(u,v)∈K leképezés egy (nem szinguláris) hermitiánus alak.

Egy M⊂V altér f-zártnak mondható, ha M=M⊥⊥⊥, ahol

V összes f-zárt altérének Lf(V) halmaza egy irreducibilis teljes ortokomplementált rácsot alkot a ⊆ részhalmaz-befogadás és az M↦M⊥ térkép tekintetében. Ez is atomisztikus és rendelkezik a fedési tulajdonsággal. Tartalmazza az összes véges dimenziós részteret, és az egydimenziós részterek ={λv | λ∈K},v≠0, az Lf(V) atomjai. Az Lf(V) rácsról tudjuk, hogy pontosan akkor ortomoduláris, ha a (V,K,*,f) tér ortomoduláris ; vagyis ha bármely M∈Lf(V),

A fordított állítás a projektív geometria alapvető eredményeinek gyűjteménye. Részletes bizonyítások Varadarajan és Maeda & Maeda & könyveiben találhatók. Ez az eredmény feltételezi, hogy az L rács hossza, azaz az L-ben lévő maximális lánc hossza legalább 4, vagyis a V vektortér legalább háromdimenziós.

2. tétel.1

Ha a hossza legalább 4, akkor létezik olyan ortomoduláris tér (V,K,*,f), hogy V f-zárt résztereinekrácsa orto-izomorf a, röviden ortomoduláris terével.

Az S állapothalmaz most már azonosítható az Lf(V) összes valószínűségi mértékének részhalmazával, azaz S⊂Prob(Lf(V)); minden α∈S-nek s(α)∈Lf(V) a támasza, és minden M∈Lf(V) valamilyen α∈S támasza. Továbbá az α∈ex(S) tiszta állapotok egy-egy onto megfelelésben vannak az ∈Lf(V) atomokkal, és egyedileg meghatározhatók az atomokon lévő értékeik, azaz az α()∈ számok által. Nyilvánvaló, hogy ha (V,K,*,f) egy klasszikus ortomoduláris tér, vagyis egy Hilbert-tér felett , akkor f belső szorzatos és a Gleason-tétel

szerint bármely v′∈,v′≠0,u′∈,u′≠0. Ebben az esetben az Lf(V)-en lévő összes valószínűségi mérték Prob(Lf(V)) halmaza egybeesik az objektum S állapotainak halmazával, mert most.

A fenti, az (S,L), L⊂E párra vonatkozó általános struktúrákból következik, hogy az V ortomoduláris vektortérnek az Lf(V)-en lévő valószínűségi mértékek gazdag halmazát kell megengednie. Véges dimenziós esetben ez nem elég ahhoz, hogy a tér Hilbert-térré váljon. Valóban, ha , , , az azonossági leképezéssel mint involúcióval , akkor ortomoduláris tér. A halmaz a összes altérének halmaza, és mindegyikre a fenti képlet definiál egy valószínűségi mértéket a -on. Ha az -en lévő összes ilyen valószínűségi mérték σ-konvex burkát jelöli, akkor a pár osztozik a fenti a)-c) pontokban felsorolt összes tulajdonságban, bár nem Hilbert-tér. Ebben az esetben a a megfelelő részhalmaza. (Részletekért lásd .) Vannak olyan végtelen dimenziós ortomoduláris terek is, amelyek nem Hilbert-terek, de valószínűségi mértékek gazdag halmazait engedik meg . Az azonban még mindig nyitott kérdés, hogy egy végtelen dimenziós ortomoduláris tér, amely rendelkezik a (b) és (c) tulajdonságokkal, kell-e vagy nem kell, hogy Hilbert-tér legyen.

Solér egyik tétele a végtelen dimenziós ortomoduláris terek közül Hilbert tereket jellemez egy olyan tulajdonsággal, amely legalábbis részben nyitott az operatív igazolásra. A következőkben erre a kérdésre térünk rá.

Solér tétele és a szimmetria

(a) Solér tétele

Megint a 2c(i) § (a)-(c) tulajdonságokkal rendelkező (S,E) statisztikai kettősséget tekintjük. L szeparálhatósága alapján L bármely egymásra ortogonális elemcsaládja legfeljebb megszámlálhatóan végtelen. Természetes feltételezni, hogy léteznek ilyen megszámlálhatóan végtelen sorozatok; például a legtermészetesebb esetben, amikor a vizsgálandó fizikai objektum lokalizálható egy euklideszi térben, ez a feltétel garantált. Feltételezzük tehát, hogy L-ben létezik legalább egy végtelen sorozata egymásra ortogonális atomoknak. Ebben az esetben az L-hez tartozó (V,K,*,*,f) ortomoduláris tér végtelen dimenziós, és létezik legalább egy végtelen sorozata (nem nulla) (ei)⊂V vektoroknak, amely ortogonális; vagyis f(ei,ej)=0 minden i≠j-re. Solér tétele az ilyen ortomoduláris terek közül a Hilbert tereket jellemzi.

3.1. tétel

Legyen (V,K,*,f) egy végtelen dimenziós ortomoduláris tér. Ha van egy végtelen ortogonális sorozatazzal a tulajdonsággal

3.1

akkor K(valós számok),(komplex számok) vagy(kvaternionok), és (V,K,*,f) a megfelelő Hilbert-tér. Azesetében az involúció * az azonosságtérkép, azesetében a komplex konjugáció, azesetében pedig a kvaternionkonjugáció.

A kiegészítő “normafeltétel” (3.1) egészen ártatlannak tűnik, de valójában egy nagyon erős feltétel, ahogy azt Keller munkájából megérthetjük . Bár ez a tulajdonság az f alakban van kifejezve, és nincs közvetlen kapcsolatban a dualitás tulajdonságaival, a szimmetriaelméleten keresztül mégis kapcsolódik hozzá.

(b) Szimmetria

A kvantummechanikában a szimmetria fogalmának több természetes megfogalmazása létezik, és mindegyik egyenértékűnek bizonyul (pl. ). Ez a 2c(i) § a)-c) tulajdonságokkal rendelkező statisztikai kettősségekre is érvényes marad. A szimmetriaelméletnek a 3.1. tétel kontextusában való alkalmazása szempontjából a szimmetria fogalmának a következő definícióját fogadjuk el: a szimmetria olyan ℓ:At(L)→At(L) bijektív leképezés, amely olyan, hogy bármely p,q∈At(L) esetén a p és q atomok akkor és csak akkor ortogonálisak egymásra, ha ℓ(p) és ℓ(q) képeik ilyenek. Emlékezzünk vissza, hogy Lf(V) esetén az és atomok pontosan akkor ortogonálisak, ha f(v′,u′)=0 néhány és így minden nem nulla vektorra v′∈, u′∈. Mivel az atomok és a tiszta állapotok egy-egy onto megfelelésben vannak, a szimmetriát ugyanúgy tekinthetjük az ex(S)-re vonatkozó bijekciónak, azzal, hogy a tiszta állapotok kölcsönös ortogonalitása a megfelelő atomok, a tiszta állapotok hordozóinak kölcsönös ortogonalitását jelenti.

A Hilbert-térelmélethez hasonlóan bármely ℓ szimmetria megvalósítható a mögöttes V vektortérre ható S leképezéssel. Valóban, kiterjesztve egy ℓ:At(L)→At(L) szimmetriát (V,K,*,f) projektivitására, azaz egy rendfenntartó bijekcióra V összes altérének rácsán (pl. ), a projektív geometria első alapvető ábrázolási tétele a Birkhoff-von Neumann-tétel végtelen dimenziós változatával együtt a következő eredményt adja.

3.2. tétel

Minden szimmetria esetén létezik egy olyan ortogonalitást megőrző bijektív g-lineáris leképezés S:V →V, hogy bármely v∈V , v≠0, ℓ()={Sv′ | v′∈}. Ha T egy másik bijektív h-lineáris térkép V →V, amely ugyanezt a szimmetriát eredményezi, akkor van egy olyan λ∈K, hogy Sv=λTv bármely v∈V esetén. Továbbá van egy ρ∈Cent(K), ρ≠0, ρ=ρ*, úgy, hogy

3.2

minden u,v∈V esetén.

Emlékezzünk arra, hogy a g-lineáris leképezés S:V →V fogalma azt jelenti, hogy S additív V-n, g:K→K izomorfizmus és S(λv)=g(λ)Sv minden v∈V,λ∈K esetén.

3.3.3. tétel

Legyen , két tetszőleges egymásra ortogonális atom azLf(V)-ben. Ha vannak olyan nem nulla vektorokx′∈ ésy′∈, hogy

akkor van egy ℓ szimmetria, amely felcseréli az atomokat és , azaz ℓ()= és ℓ()=, és ezek szuperpozíciója a fixpontja, azaz van olyan atom ≤∨, hogy ℓ()=.

Ez a lemma, amelyet a , azt sugallja, hogy ahhoz, hogy a 2c(i) § (a)-(c) tulajdonságokkal rendelkező (S,E) statisztikai dualitásnak legyen Hilbert-téri realizációja, a szimmetriák halmazának kellően gazdagnak kell lennie. Érdemes hangsúlyozni, hogy a tiszta állapotok szuperpozíciójának fogalma, amely az L irreducibilitása mögött is áll, szerepet játszik ebben a lemmában. Továbbá érdekes felidézni, hogy egy kvantumobjektum akkor elemi egy G szimmetriacsoport tekintetében, ha létezik egy G-n definiált és az At(L) összes szimmetriájának Sym(L) halmazában értéket vevő csoporthomomomorfizmus, úgy, hogy bármely α∈ex(S) tiszta állapotra a {ℓg(α) | g∈G} halmaz a szuperpozíciók értelmében teljes, azaz bármely más β∈ex(S) tiszta állapot kifejezhető néhány ℓg(α), g∈G tiszta állapot szuperpozíciójaként.

Tegyük fel most, hogy bármely két egymásra ortogonális atomra és van olyan ℓ szimmetria, hogy ℓ()= és ℓ()= valamilyen ≤∨ esetén. Legyen S,g,ρ egy olyan hármas, amely a 3.2. tétel szerinti ℓ-t megvalósítja. Bármely y′∈ esetén van olyan x′∈, hogy Sx′=y′. Ekkor f(y′,y′)=f(Sx′,Sx′)=g(ρ)g(f(x′,x′)). Feltételezzük, hogy az f alak olyan, hogy minden v∈V számára az f(v,v) szám K kommutáló eleme, azaz f(v,v)∈Cent(K), akkor minden z′∈ esetén Sz′=λz′ valamilyen λ∈K esetén, és így λλ*f(z′,z′)=f(λz′,λz′)=g(ρ)g(f(z′,z′)). Ez az egyenlet g(ρ)=λλ*, feltéve, hogy g(f(z′,z′))=f(z′,z′). Ekkor f(y′,y′)=f(λx′,λx′) is, amire a 3. tételben van szükség.

A fenti megfigyelések azt mutatják, hogy ha a szimmetriák halmaza eléggé bőséges abban az értelemben, hogy minden páronként ortogonális atomra van olyan szimmetria, amely felcseréli az atomokat és fix pontként megtartja a szuperpozíciót, és ha az f forma eléggé szabályos abban az értelemben, hogy minden v∈V esetén f(v,v)∈Cent(K) és g(f(v,v))=f(v,v) K bármely g automorfizmusára, akkor Solér tételének feltételei teljesülnek, és így a (S,E) statisztikai dualitást modellező (V,f,*,K) végtelen dimenziós ortomoduláris tér, a 2c(i) § (a)-(c) tulajdonságaival, egy Hilbert-tér a vagy felett.

Megállapítjuk, hogy a forma szabályosságának kérdéséig jól érthető egy kvantumrendszer (S,E) statisztikai dualitásának végtelen dimenziós Hilbert-tér megvalósításának szükségessége.

A

esete

Marad a számmező megválasztásának kérdése. Erre a kérdésre nem tudunk határozott választ adni, de szeretnénk rámutatni néhány, alapvetően jól ismert eredményre, amelyek együttesen alátámasztják a komplex mező választását a kvantummechanika számára.

Azt jól tudjuk, hogy a kvantummechanika alapstruktúrái egyformán érvényesek a végtelen dimenziós Hilbert-tér mindhárom esetére a vagy felett. Gleason tétele , a 4.23. tétel alapján a rendszer állapotai azonosíthatók az egységnyi nyomvonalú pozitív operátorokkal, a megfigyelhetők pedig a normalizált pozitív operátorok mértékegységeivel, a mérés kimenetelének valószínűségeit pedig a tr nyomképlet adja. Továbbá, az éles (vetületi értékű) megfigyelhető egy-az-egybe megfeleltethető az önadjungált operátorokkal , 4.11. tétel; a kvaternionikus Hilbert terek operátorelméletének szisztematikus tanulmányozásához (pl. ). Ezenkívül Solér tételével a 3.2. tétel visszavezethető a Wigner-tételre , 4.29. tétel.

Az ugyancsak jól ismert, hogy a három eset néhány figyelemre méltó különbséget mutat. Csak a komplex esetben az egyparaméteres unitáris csoportoknak megfelelnek Stone tételén keresztül a -ban ható A önadjungált operátorok. A valós és kvaternionos esetekben ez fontos változásokat jelent a karakterisztikus szimmetriatulajdonságaik alapján definiált megfigyelhetőségek szerkezetében (pl. , 22. k., , 18. k., ). Emlékeztetünk arra is, hogy vannak olyan szimmetriatranszformációk, amelyek csak komplex esetben valósíthatók meg (pl. ). Továbbá úgy tűnik, hogy a Heisenberg-Kennard-Robertson-féle preparációs bizonytalansági relációk levezethetősége és az idővisszafordítás művelete komplex számokat igényel (pl. , 66. o., , , , 47-49. o.). Különösen úgy tűnik, hogy a kvantummechanika szisztematikus értelmezése egy valós Hilbert-térben ténylegesen megköveteli annak komplex térbe való beágyazását. Ezért, bár nem logikai szükségszerűségből, Occam borotváját alkalmazva félretehetjük a valós esetet, mint felesleges komplikációt a kvantummechanika komplex Hilbert-térben való megfogalmazásához képest.

Mi a helyzet a kvaternionokkal? Adler Quaternionic Quantum Mechanics and Quantum Fields című terjedelmes monográfiáját tekintve , talán helytelennek találnánk megkérdőjelezni ezt a lehetőséget. Matematikai szempontból azonban, és szintén egyetértésben , rámutathatunk arra, hogy a kvaternionikus Hilbert terekben az operátorelmélet legtöbb fontos eredményét a komplex esetre való redukcióval kapjuk a “szeletelés” technikájával, ahogyan azt pl. a . Ezért a valós esethez hasonlóan Occam borotvája a kvaternionok kizárására is alkalmazható. A kvaternionikus kvantummechanikával azonban van egy alapvető probléma, az összetett rendszerek problémája. Ezt a pontot a következőkben röviden tárgyaljuk.

Az összetett rendszerek elmélete a kvantummechanika egyik leglényegesebb része, mind megalapozó, mind gyakorlati szempontból. Legyen tehát (S,L,E), (S1,L1,E1) és (S2,L2,E2) három saját kvantumrendszer , illetve statisztikai leírása, és legyen , , i=1,2, ezek Hilbert-téri megvalósításai, ahol K,Ki minden esetben a vagy valamelyike.

Tegyük fel, hogy a a és a összetétele; azaz és a alrendszere, és ezekből és semmi másból áll össze. Ez az elképzelés néhány nyilvánvaló követelményhez vezet a három rendszer statisztikai leírásával kapcsolatban (pl. , 24. k.). Különösen, hogy kell, hogy legyenek injektív unitális morfizmusok (felismerési leképezések) hi:Li→L, hogy minden a1∈L1,a2∈L2 esetében a h1(a1),h2(a2)∈L tételek kompatibilisek (együttesen mérhetőek) legyenek, és bármely két atom (tiszta állapot) p1∈At(L1) és p2∈At(L2) esetében h1(p1)∧h2(p2) az L egyik atomja (tiszta állapota) legyen.

A 3.2. tétellel analóg módon megmutathatjuk, hogy a térkép

jelen kontextusban egy olyan (g1,g2)-bilineáristérképpel valósítható meg, hogy

(lásd , 2. tétel.22, vagy , 9. tétel és , 24.4.1. tétel). Különösen következik, hogy a gi:Ki→K morfizmusok minden λi∈Ki esetén ingadoznak a megfelelő involúciókkal, azaz, valamint egymással, azaz g1(λ1)g2(λ2)=g2(λ2)g1(λ1) minden λi∈Ki esetén.

Vizsgáljuk meg most a kvaternionos esetet, vagyis tegyük fel, hogy (és így is). Mivel a bármelyik automorfizmusa belső, most azt kapjuk, hogy mindkét gi a formájú valamilyen esetén. De nincs olyan , amelynek |c1|=|c2|=1, amelyre

mindenesetén érvényes lehet. Ez arra enged következtetni, hogy a kvantummechanika a quaternionikus Hilbert tereken nem képes leírni az összetett rendszereket, ahogyan azt a fent leírt felismerési térképek alapján formalizáltuk. Nyilvánvaló, hogy ez az eredmény a , miatt kapcsolódik a kvaternionikus Hilbert terek tenzorprodukciójának problémájához (pl. ).

Másrészt, ha , akkor szintén , 12. tétel, amely esetben a g1,g2 függvények vagy az azonosság, vagy a komplex konjugációk. A négy eset (g1,g2) a négy tenzorprodukciós megoldáshoz vezet: , , és , ahol a duális tere (lásd vagy , 24. k.). Bár a mögöttes Hilbert-tér csak a és párokban izomorf, a logikák (vetületi rácsok) minden esetben izomorfok. Ezért ezeket egyenértékűnek tekintjük, és a használatát választjuk, a többi választás így inkább felesleges bonyodalomnak tűnik.

Következtetés

A valószínűségi fizikai elméletek általános keretét használva fizikailag plauzibilis feltevéseket tehetünk egy fizikai rendszerre vonatkozó előkészületek és mérések lehetőségeire vonatkozóan úgy, hogy az így kapott elmélet lényegében a kvantummechanika formáját ölti egy végtelen dimenziós Hilbert-téren a valós számok, a komplex számok vagy a quaternionok felett. A kvantummechanika alapvető jellemzői minden esetben érvényesek maradnak: az állapotok mint pozitív nyomjelű egyes operátorok, a megfigyelhető értékek mint normalizált pozitív operátorok és a Born-szabály (a nyomjelképlet), amely megadja a mérés kimenetelének valószínűségét. A valós és a kvaternionos esetekben azonban a konkrét megfigyelhetőségek meghatározása a természetes szimmetriatulajdonságaik alapján trükkössé válik. Ezek a bonyodalmak mindenesetre kezelhetők, valós esetben a valós Hilbert-tér komplex Hilbert-térbe való beágyazásával, kvaternionikus esetben az elmélet komplex elméletre való redukálásával. Ezért úgy tűnik, hogy a komplex elmélethez képest mindkét lehetőség csak szükségtelen bonyodalmakkal jár. Ráadásul a kvaternionikus kvantummechanika szenved attól, hogy nem képes leírni az összetett rendszereket.

Adatok hozzáférhetősége

Ez a cikk nem tartalmaz további adatokat.

A szerzők hozzájárulása

Ez a cikk a szerzők hosszú távú együttműködésének mellékterméke. A szerzők egyenlő mértékben, kölcsönösen összefonódva járultak hozzá.

Kompetitív érdekek

Kijelentjük, hogy nincsenek konkurens érdekeink.

Finanszírozás

Ezért a tanulmányért nem kaptunk támogatást.

Lábjegyzetek

Egy hozzájárulás 15-ből a ‘Second quantum revolution: foundational questions’ című tematikus számhoz.

A cikket Maciej Ma̧czynski professzornak ajánljuk 80. születésnapja alkalmából.