Indikátorfüggvények

Written by on in Articles

by Marco Taboga, PhD

Egy esemény indikátorfüggvénye egy olyan véletlen változó, amely 1 értéket vesz fel, ha az esemény bekövetkezik, és 0 értéket, ha az esemény nem következik be. Az indikátorfüggvényeket gyakran használják a valószínűségelméletben a jelölések egyszerűsítésére és tételek bizonyítására.

Tartalomjegyzék

Definíció

A következő egy formális definíció.

Definíció Legyen Omega egy mintatér és $Esubseteq Omega $ egy esemény. Az E esemény $1_{E}$ jelű indikátorfüggvénye (vagy indikátor véletlen változója) a következőképpen definiált véletlen változó:

Míg a E esemény indikátorát általában $1_{E}$-vel jelöljük, néha-vel is jelöljük, ahol $chi $ a görög Chi betű.

Példa Dobunk egy kockát, és az 1-től 6-ig terjedő hat szám közül az egyik megjelenhet képpel felfelé. A mintatérDefiniáljuk az a “Egy páros szám jelenik meg képpel felfelé” mondat által leírt eseményt. A E esemény indikátora egy olyan véletlen változó, amely 1 értéket vesz fel, ha páros szám jelenik meg képpel felfelé, és egyébként 0 értéket. Ennek az indikátornak az eseti definíciója

A fenti definícióból könnyen belátható, hogy $1_{E}$ diszkrét véletlen változó, amelynek támasza és valószínűségi tömegfüggvénye

Tulajdonságai

Az indikátorfüggvények a következő tulajdonságokkal rendelkeznek.

Teljesítmények

$1_{E}$ n-adik hatványa egyenlő $1_{E}$:mert $1_{E}$ lehet 0 vagy 1 és

Várható érték

A $1_{E}$ várható értéke egyenlő :

Variancia

A $1_{E}$ szórása . A szokásos szórásképletnek és a fenti hatványtulajdonságnak köszönhetően megkapjuk

Összefüggések

Ha E és F két esemény, akkormert:

  1. ha $omega in Ecap F$, akkor és

  2. ha , akkorés

Nulla valószínűségű események jelzői

Legyen E egy nulla valószínűségű esemény és X egy integrálható véletlen változó. Akkor,Míg ennek a ténynek a szigorú bizonyítása meghaladja e bevezető ismertetés kereteit, ennek a tulajdonságnak intuitívnak kell lennie. A véletlen változó omega minden mintapontban egyenlő nullával, kivéve esetleg az E$” style=”background-position:0px -1174pxvertical-align:-5px”>-ben lévő $omega pontokat. A várható érték a <img width= felvehető értékek súlyozott átlaga, ahol minden értéket a megfelelő valószínűséggel súlyozunk. A nem nulla értékek, amelyeket $X1_{E}$ felvehet, nulla valószínűséggel súlyozottak, tehát -nek nullának kell lennie.

megoldott feladatok

Az alábbiakban néhány feladatot találsz magyarázott megoldásokkal.

1. gyakorlat

Tekintsünk egy X véletlen változót és egy másik véletlen változót Y, amelyet X függvényeként definiálunk.

Fejezzük ki Y az és események indikátorfüggvényeinek segítségével.

megoldás

Jelöljük al az esemény indikátorát és jelöljük al az esemény indikátorát. Y felírhatjuk

gyakorlat 2

Legyen X pozitív véletlen változó, azaz olyan véletlen változó, amely csak pozitív értékeket vehet fel. Legyen $c$ egy konstans. Bizonyítsuk be, hogy ahol a esemény mutatója.

megoldás

Először is jegyezzük meg, hogy a és mutatók összege mindig egyenlő 1:Ezek következtében leírhatjukMost jegyezzük meg, hogy pozitív véletlen változó, és hogy egy pozitív véletlen változó várható értéke pozitív:Ezért,

3. gyakorlat

Legyen E egy esemény, és jelöljük a mutatófüggvényét $1_{E}$-vel. Legyen $E^{c}$ a E komplementje és jelöljük indikátorfüggvényét $1_{E^{c}}$. Ki tudja-e fejezni $1_{E^{c}}$ a $1_{E}$ függvényeként?

megoldás

A két mutató összege mindig egyenlő 1:Ezért,

How to cite

Please cite as:

Taboga, Marco (2017). “Indikátorfüggvények”, Előadások a valószínűségelméletről és a matematikai statisztikáról, Harmadik kiadás. Kindle Direct Publishing. Online függelék. https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/indicator-functions.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.