Homotópia, a matematikában a geometriai területek osztályozásának módja a területen rajzolható különböző típusú utak tanulmányozásával. Két közös végpontokkal rendelkező pályát homotópiának nevezünk, ha az egyik folyamatosan deformálható a másikba úgy, hogy a végpontok fixek maradnak, és a meghatározott tartományon belül maradnak. Az ábra A részében az árnyékolt régióban egy lyuk van; f és g homotóp pályák, de g′ nem homotóp f-hez vagy g-hez, mivel g′ nem deformálható f-be vagy g-be anélkül, hogy áthaladna a lyukon és elhagyná a régiót.

A homotópia formálisan azt jelenti, hogy egy pályát úgy határozunk meg, hogy a 0 és 1 közötti intervallum pontjait folytonosan leképezzük a régió pontjaira – vagyis úgy, hogy az intervallum szomszédos pontjai megfeleljenek az út szomszédos pontjainak. A h(x, t) homotópia térkép olyan folytonos térkép, amely két megfelelő útvonalhoz, f(x) és g(x) két változó x és t függvényét társítja, amely egyenlő f(x), ha t = 0, és egyenlő g(x), ha t = 1. A h(x, t) homotópia térkép egy olyan folytonos térkép, amely két megfelelő útvonalhoz, f(x) és g(x) függvényt társít. A térkép megfelel annak az intuitív elképzelésnek, hogy t 0-ról 1-re változása során fokozatosan deformálódik, anélkül, hogy elhagyná a régiót. Például h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) homotóp függvény az ábra A részében látható f és g pályákhoz; az f(x) és g(x) pontokat egy egyenes szakasz köti össze, és a t minden rögzített értékére h(x, t) egy olyan pályát definiál, amely ugyanazt a két végpontot köti össze.

Különösen érdekesek az egy pontban kezdődő és végződő homotóp pályák (lásd az ábra B részét). Egy adott geometriai tartományban az összes ilyen egymáshoz homotopikus út osztályát homotópiaosztálynak nevezzük. Az összes ilyen osztály halmaza algebrai struktúrát kaphat, amelyet csoportnak, a régió alapcsoportjának nevezünk, és amelynek struktúrája a régió típusától függően változik. Egy lyukak nélküli régióban minden zárt pálya homotóp, és az alapcsoport egyetlen elemből áll. Egyetlen lyukkal rendelkező régióban minden olyan út homotóp, amely ugyanannyiszor kanyarog a lyuk körül. Az ábrán az a és b út homotóp, valamint a c és d út is, de az e út nem homotóp a többi út egyikével sem.

A homotóp utakat és a régiók alapcsoportját ugyanígy definiálhatjuk három vagy több dimenzióban, valamint általános sokaságokon is. Magasabb dimenziókban magasabb dimenziós homotópiacsoportokat is definiálhatunk.