A gauge-elmélet legegyszerűbb példája az elektrodinamika, amelyet a Maxwell-egyenletek írnak le. Az elektromos térerősség\(\vec E(\vec x,t)\) és a mágneses térerősség\(\vec B(\vec x,t)\) a homogén Maxwell-egyenleteknek engedelmeskedik (SI-egységekben):

\

\

A Poincaré lemma szerint az Eq. (2) szerint létezik még egy olyan \(\vec A(\vec x,t)\) vektormező, hogy

\

Mivel az Eq. (1) most így szól

\

megállapíthatjuk azt is, hogy létezik egy olyan \(\Phi(\vecx,t)\) potenciálmező, hogy

\

Az \(\Phi\) az elektromos potenciálmező;az \(\vec A\) vektormezőt vektorpotenciálmezőnek nevezzük. E potenciális mezők erősségét az inhomogén Maxwell-egyenletek határozzák meg, amelyek olyan egyenletek, amelyek az elektromágneses mezők erősségét az ezeket a mezőket létrehozó elektromos töltésekhez és áramokhoz kapcsolják. A potenciális mezők használata gyakran leegyszerűsíti a Maxwell-egyenletek megoldásának problémáját.

Az teszi ezt az elméletet gauge-elméletté, hogy e potenciális mezők értékeit nem teljesen a Maxwell-egyenletek határozzák meg. Tekintsünk egy elektromágneses mező konfigurációt\((\vec E(\vec x,t),\,\vec B(\vec x,t))\ ,\) és tegyük fel, hogy azt a \((\Phi(\vec x,t),\,\vecA(\vec x,t))\ .\) potenciálmezők írják le. Ezután tetszőleges skalárfüggvényt használva\(\Lambda(\vec x,t)\ ,\) megtalálhatjuk az azonos elektromos és mágneses mezőket leíró potenciálmezők különböző halmazát,

\

A (3) és (5) egyenleteket vizsgálva könnyen megfigyelhetjük, hogy \(\vec E=\vec E’\) és \(\vecB=\vec B’\) .\) Így a (\(\(\Phi’,\,\vec A’\)) és(\(\(\Phi,\,\vec A\))) halmazok ugyanazt a fizikai helyzetet írják le.Emiatt a (6) transzformációt mérettranszformációnak nevezzük. Mivel \(\Lambda\) az \((\vec x,t)\) pontok tetszőleges függvénye lehet a téridőben, lokális gauge-transzformációról beszélünk. Az a tény, hogy az elektromágneses mezők invariánsak e lokális gauge-transzformációk alatt, Maxwell elméletét gauge-elméletté teszi.

A relativisztikus kvantumtérelméletben egy nem kölcsönható spin nélküli részecske \(\psi(\vecx,t)\) mezeje tipikusan a

\

egyenletet követi, ahol olyan mértékegységeket használnak, hogy a fénysebesség \(c=1\ ,\) és a Planck-konstans \(\hbar=1\ .\) Ez adja az energia és az impulzus közötti diszperziós összefüggést, ahogyan azt a speciális relativitáselmélet diktálja:

\

Tegyük fel, hogy a kérdéses részecske elektromos töltést hordoz\(q\ .\) Hogyan befolyásolja az egyenletét az elektromágneses terek jelenléte? Kiderül, hogy az \(\vec E\) és \(\vecB\) mezőkkel nem lehet közvetlenül felírni a helyes egyenleteket. Itt csak azt lehet választani, hogy helyette a (vektor)potenciálmezőktől függő kifejezéseket adunk hozzá:

\

Megállapítható, hogy ez az egyenlet helyesen olyan hullámokat eredményez, amelyeket az elektromágneses erők a várt módon eltérítenek.Például az \(E\) energia könnyen látható, hogy \(q\,\Phi(\vec x,t)\ ,\), ami egy elektromos potenciálmezőben lévő töltött részecske potenciális energiája.

Mi történik azonban ezzel az egyenlettel, ha gaugetransformációt hajtunk végre? Úgy tűnik, mintha az egyenlet megváltozna, így az \(\psi\) mező megoldásának is változnia kell.Valóban, \(\psi\) a következő módon változik:

\

Az \(\psi\) mező tehát forgást végez a komplex síkban. Ez szorosan kapcsolódik a “skálatranszformációhoz”, amely akkor jönne létre, ha a (10) egyenletből eltávolítanánk az “i”-t. Hermann Weyl volt az, aki megjegyezte, hogy ez a szimmetriatranszformáció egyszerűen újradefiniálja a \(\psi\ ,\) mező skáláját, és bevezette a “gauge” szót e tulajdonság leírására.

A kombinációk

\

1. ábra: Feynman-diagram egy fotont kibocsátó elektronra.

kovariáns deriváltaknak nevezzük, mert úgy választjuk meg őket, hogy az \(\Lambda(\vecx,t)\) függvény deriváltjai egy gauge-transzformációban kioltódnak:

\

\

és így könnyen belátható, hogy a (10)-es egyenlet helyesen írja le azt, ahogyan \(\psi\) átalakul egy lokális gauge-transzformáció alatt, ugyanannak a mezőegyenletnek (9) engedelmeskedve a transzformáció előtt és után (az egyenletben minden tagot ugyanazzal az exponenciális\(e^{-iq\Lambda}\ ,\) szorozunk, így ez a tényező lényegtelen).

Az abszolút érték, \(|\psi(\vec x,t)|^2\) egyáltalán nem változik a gauge-transzformáció alatt, és ez az a mennyiség, amely megfelel valaminek, ami fizikailag megfigyelhető: ez annak a valószínűsége, hogy egy részecske megtalálható \((\vecx,t)\ .\) Egy ökölszabály szerint a lokális gauge-invariancia megköveteli, hogy az egyenleteinkben szereplő összes deriváltat kovariáns deriváltakkal helyettesítsük.

2. Yang-Mills elmélet

2. ábra: Feynman-diagramok a Yang-Mills-fotonok emissziójára. Fent: elektron átalakul en elektron-neutrínóvá; lent: neutron átalakul protonná.

Az 1950-es években ismerték, hogy a proton \(P(\vec x,t)\ ,\) és a neutron \(N(\vec x,t)\ ,\) mezőegyenletei olyanok, hogy ezeket a mezőket egy komplex kétdimenziós térben el lehet forgatni:

\

ahol a mátrix \( U=\left({a\quad b\atop c\quadd}\right)\) négy tetszőleges komplex számot tartalmazhat, amennyiben unitárius (\(U\,U^\dagger=I\)), és általában az \(U\) determinánsa 1-re korlátozódik. Mivel ezekaz egyenletek hasonlítanak azokra a forgatásokra, amelyeket a közönséges térben végezhetünk,egy részecske spinjének leírására, a kérdéses szimmetriát itt izospinnek nevezték.

1954-ben C.N. Yang és R.L. Mills egy nagyon fontos gondolatot publikált.Lehet-e úgy módosítani az egyenleteket, hogy ezeket az izospinforgásokat lokális gauge-forgásoknak tekintsük? Ez azt jelentené, hogy az eddig ismert esettől eltérően a mátrixok\(U\) tér- és időfüggőek lennének, akárcsak az \(\Lambda(\vec x,t)\) gauge-generátor az elektromágnesességben. Yangot és Millst az a megfigyelés is inspirálta, hogy Einstein gravitációs elmélete, az általános relativitáselmélet is lehetővé teszi a lokális gaugetranszformációkhoz nagyon hasonló transzformációkat: a koordinátarendszer felcserélését más koordinátákkal tetszőleges, téridőfüggő módon.

A protonok és neutronok mezőegyenleteinek felírásához szükség van e mezők deriváltjaira. Az a mód, ahogyan ezek a deriváltak egy lokális gauge-transzformáció alatt átalakulnak, azt jelenti, hogy a mátrixok \(U\ ) gradienseit \(\vec\nabla U\) tartalmazó tagok lesznek.\) Ahhoz, hogy az elmélet gauge-invarianttá váljon, ezeket a gradienseket ki kell egyenlíteni, és ennek érdekében Yang és Mills az \(\vec\nabla\) deriváltakat \(\vec D=\vec\nabla -ig\vec A(\vec x,t)\ ,\) kovariáns deriváltakkal helyettesítette, ahogyan az elektromágnesességben is történt, lásd a (11) egyenletet. Itt azonban az \(\vec A\) mezőknek mátrix értékűeknek kellett lenniük, csakúgy, mint az izospin \(U\) mátrixoknak:

A Maxwell-féle elektromos és mágneses mezőkkel egyenértékű mezőket a két kovariáns derivált kommutátorának figyelembevételével kapjuk:

\=D_\mu D_\nu-D_\nu D_\mu=-ig(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig) = -igF_{\mu\nu}\ ,\]

ahol az indexek az \(\mu,\ \ \nu=0,1,2,3\ ,\)értékeket veszik fel, ahol 0 az időkomponensre utal.

Mivel \( F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}\ ,\) ennek a tenzornak 6 független komponense van, három elektromos vektormezőt alkot, három pedig mágneses mezőt. A kommutátor, \(\) egy új, nemlineáris kifejezés, amely a Yang-Mills-egyenleteket sokkal bonyolultabbá teszi, mint a Maxwell-rendszer.

A Yang-Mills-részecskék, mint a Yang-Mills-mezők energiakvantumai, más szempontból hasonlóak a fotonokhoz, a fénykvantumokhoz. A Yang-Mills-részecskéknek nincs saját tömegük, és a fénysebességgel haladnak. Valójában ezek a tulajdonságok eleinte okot adtak arra, hogy elvetessék ezt az elméletet, mert az ilyen tömeg nélküli részecskéket már régen ki kellett volna mutatni, míg azok feltűnően hiányoztak.

3. A Brout-Englert-Higgs mechanizmus

Az elméletet akkor élesztették újra, amikor a helyi mérőszimmetria spontán felbomlásával, más néven a Brout-Englert-Higgs mechanizmussal kombinálták. Tekintsünk egy skalár (spin nélküli)részecskét, amelyet egy \(\phi(\vec x,t)\ .\) mező ír le. Ezt a mezőt vektormezőnek tételezzük fel, abban az értelemben, hogy egy gauge-transzformáció végrehajtása során valamilyen forgáson megy keresztül. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy a részecske egy vagy többféle töltést hordoz, ami érzékennyé teszi a Yang-Mills-erőre, és gyakran többkomponensű, ami azt jelenti, hogy ennek a részecskének különböző fajtái vannak.Az ilyen részecskéknek Bose-Einstein-statisztikának kell engedelmeskedniük, ami azt jelenti, hogy Bose-Einstein-kondenzáción mehetnek keresztül. A \(\phi\) mezője szempontjából ez a következőket jelenti:

3. ábra: Spontán szimmetriatörés. Egy forgásszimmetrikus potenciálban tartózkodó objektum stabil, aszimmetrikus helyzetet talál. A BEH esetben a Higgs-mező \((\phi_1, \phi_2)\) \((F,\,0)\ .\)

A vákuumban a mező \(\phi\) nem változó értéket vesz fel \(F\ .\)

Ezt általában így írják:

\

Egy lokális gauge-transzformáció után ez így nézne ki:

\

ahol \( U(\vec x,t) \) egy mátrixmező, amely a lokális gauge-transzformációt képviseli.

Sokszor mondják, hogy ezért a vákuum nem gauge-invariancia,de szigorúan véve ez nem igaz. A (18) egyenlet által leírt helyzet ugyanaz a vákuum, mint a(17); csak másképp írják le. A vákuumnak ez a tulajdonsága azonban fontos következményekkel jár. Mivel a forgatott mező most ugyanazt a helyzetet írja le, mint az előző érték, a forgatott mezőhöz nem kapcsolódik más fizikai részecske. Csak a vektor hosszának\(\phi\) van fizikai jelentősége. Ezért csak az \( \phi\) vektor hossza kapcsolódik egyfajta részecskéhez, amelynek semlegesnek kell lennie a Yang-Mills-erőkhöz. Ezt a részecskét most Higgs-részecskének nevezzük.

Mivel a Higgs-mező a Yang-Mills-térerősség állandó forrása, a Yang-Mills-tér egyenleteit ez módosítja. A Higgs-mezőnek köszönhetően a Yang-Mills \(A_\mu(\vec x,t)\) mező által leírt Yang-Mills “fotonok” tömeget kapnak. Ez a következőképpen is megmagyarázható. A tömeg nélküli fotonoknak csak két helicitásállapotuk lehet, azaz csak két irányban pöröghetnek. Ez összefügg azzal a ténnyel, hogy a fény pontosan kétirányban polarizálható. A tömeges fotonok (nem változó tömegű és egy egységnyi spinnel rendelkező részecskék) mindig három irányban tudnak pörögni. Ezt a harmadik forgási módot most a Higgs-mező biztosítja, amely maga is elveszíti több fizikai komponensét. A fizikai mezőkomponensek teljes száma a Brout-Englert-Higgs-mechanizmus előtt és után is ugyanaz marad. A Yang-Mills-mezőre gyakorolt hatás további következménye, hogy a tömeges fotonok által közvetített erő rövid hatótávolságú (az erő hatótávolsága fordítottan arányos a foton tömegével).

4. ábra: A kvarkok és antirészecskéik hat íze és három színe. A nyilak a gyenge és az erős átmenetet mutatják

A gyenge kölcsönhatásokat most már sikeresen le lehetett írni egy Yang-Mills elmélettel. A lokális gauge-transzformációk halmaza alkotja a matematikai \(SU(2)\times U(1)\ .\) csoportot. Ez a csoport a fotonok 4 faját generálja (3 \(SU(2)\) és 1 \( U(1)\) esetén). A Brout-Englert-Higgs mechanizmus úgy bontja le ezt a csoportot, hogy egy \(U(1)\) alakú alcsoport marad.Ez az elektromágneses elmélet, egyetlen fotonnal. A másik három foton masszívvá válik; ezek felelősek a gyenge kölcsönhatásokért, amelyek a gyakorlatban csak azért tűnnek gyengének, mert ezeknek az erőknek nagyon rövid a hatótávolságuk. Az elektromágnesesség szempontjából két ilyen köztes vektorbozon, \(W^\pm\ ,\) elektromosan töltött, és egy harmadik, \( Z^0\ ,\) elektromosan semleges. Amikor az utóbbi létezését csoportelméleti érvekből levezették, ez a gyenge kölcsönhatás eddig észrevétlen formájának, a semleges áram kölcsönhatásnak az előrejelzését eredményezte. Ezt az elméletet, amely egyesíti az elektromágnesességet és a gyenge erőt, elektro-gyenge elméletnek nevezik, és ez volt az első teljesen renormálható elmélet a gyenge erőre (lásd az 5. fejezetet).

4. fejezet. Kvantumkromodinamika

Amikor megértették, hogy a gyenge kölcsönhatások az elektromágneses kölcsönhatásokkal együtt egy Yang-Mills-féle mérőelméletnek tulajdoníthatók,felmerült a kérdés, hogyan kezeljük az erős erőt, egy nagyon erős erőt viszonylag rövid hatótávolsággal, amely a hadronikus részecskék, például a nukleonok és az ionok viselkedését irányítja. 1964 óta tudták, hogy ezek a részecskék úgy viselkednek, mintha kvarkoknak nevezett alegységekből épülnének fel. A kvarkok három fajtáját ismerték (felfelé, lefelé és furcsa), és később további hármat fedeztek fel (bájos, felső és alsó). Ezeknek a kvarkoknak megvan az a sajátos tulajdonságuk, hogy állandóan összetapadnak vagy hármasával, vagy egy kvark egy antikvarkkal tapad össze. Amikor azonban nagyon közel kerülnek egymáshoz, szabadabban kezdenek egyénként viselkedni.

5. ábra: Feynman-diagramok a QCD gluonok kibocsátására. A kvarkok színt váltanak, de az ízük változatlan marad: az u marad u és a d marad d.

Ezeket a tulajdonságokat ma már úgy értjük, hogy ismét a Yang-Millsgauge elméletnek köszönhetik. Itt a matematikai \(SU(3)\)csoportot kapjuk helyi mérőcsoportként, míg most a szimmetriát nem befolyásolja semmilyen Brout-Englert-Higgs mechanizmus. A Yang-Mills-mező nemlineáris jellege miatt önkölcsönhatásba lép, ami a mezőket az elektromágneses esettől teljesen eltérő mintázatokra kényszeríti: örvényvonalak alakulnak ki, amelyek felbonthatatlan kötéseket képeznek a kvarkok között. Közeli távolságokban a Yang-Mills-erő gyengévé válik, és ez a tulajdonság elemi módon levezethető perturbációs kiterjesztésekkel, de ez a kvantáltYang-Mills-rendszer olyan tulajdonsága, amelyet eddig lehetetlennek hittek bármely kvantumtérelmélet esetében, az úgynevezett aszimptotikus szabadság. E tulajdonság felfedezésének bonyolult története van.

6. ábra: A kvantumkromodinamikai mezők olyan örvényeket alkotnak, amelyek a kvarkokat és antikvarkokat (balra) vagy a három kvarkos rendszereket (jobbra) tartósan bezárva tartják.

\(SU(3)\) azt jelenti, hogy a kvarkok minden fajtája háromféle, színnek nevezett típusban létezik: “piros”, “zöld” vagy “kék”. a kvarkok mezője tehát egy belső “szín”-térben egy 3 komponensű vektor. A Yang-Mills gauge-transzformációk ezt a vektort a színtérben forgatják. Maguk a Yang-Mills mezők 3 x 3 mátrixokat alkotnak,egy megszorítással (mivel a Yang-Mills gaugerotációs mátrixok determinánsának egynek kell lennie). Ezért a Yang-Mills-mezőnek 8 színes fotonszerű részecskéje van, amelyeket gluonoknak nevezünk. Az antikvarkok a konjugált színeket (“cián”, “magenta” vagy “sárga”) hordozzák. Az elméletet ma kvantumkromodinamikának (QCD) nevezik. Ez is egy renormálható elmélet.

A gluonok hatékonyan tartják együtt a kvarkokat oly módon, hogy a színeik összesen színsemleges (“fehér” vagy “szürke árnyalatú”) színt adnak ki. Ez az oka annak, hogy vagy három kvark, vagy egy kvark és egy antikvark ülhet együtt, hogy fizikailag megfigyelhető részecskét (hadron) alkosson. Az elméletnek ezt a tulajdonságát állandó kvarkbezártságnak nevezik. A mezők erősen nemlineáris jellege miatt a kvarkzártságot valójában elég nehéz bizonyítani, míg az aszimptotikus szabadság tulajdonsága pontosan kimutatható. Valójában a bezártság matematikailag légmentesen bizonyítható, az elméletben lévő tömeghézag (a szigorúan tömegmentes hadronikus objektumok hiánya) jelenségével együtt még nem történt meg, és ez a Massachusetts állambeli Cambridge-i Clay Matematikai Intézet által kiadott,

5. cikk tárgyát képezi. A Lagrange-egyenlet

Nem választhatunk tetszés szerint minden mezőegyenletet. Olyan feltételeknek kell engedelmeskedniük, mint például az energia megőrzése. ez azt jelenti, hogy van egy hatáselv (hatás = reakció), és ezt az elvet a legkényelmesebben az elmélet Lagrange-egyenletének felírásával lehet kifejezni. A Lagrange-sűrűség (pontosabban Lagrange-sűrűség) \( \mathcal{L}(\vec x,t)\) a rendszer mezőinek kifejezése. Egy valós skalármezőre \(\Phi\) ez

\

és a Maxwell-mezőkre ez

\

ahol az összegzés a Lorentz-kovariáns összegzés a Lorentz-indexek felett \(\mu,\ \ \nu\ .\)A mezőegyenletek mind levezethetők ebből a kifejezésből azzal a követelménnyel, hogy az akcióintegrál,

\

ahol \(\mathcal{L}\) a rendszerben lévő összes mező Lagrangianjának összege,legyen stacionárius e mezők minden infinitesimális változása alatt. Ezt Euler-Lagrange-elvnek nevezzük,és az egyenletek az Euler-Lagrange-egyenletek.

Mérőelméletekre ez közvetlenül általánosítható: felírjuk

\

az \(F_{\mu\nu}\ ,\) mérőmezőkre vonatkozó (16) kifejezést használva, és hozzáadjuk a többi bevezetett mezőhöz tartozó összes kifejezést. Az elmélet minden szimmetriája a Lagrange-nek a szimmetriája, és az összes csatolási erősség dimenziója is könnyen leolvasható a Lagrange-ból,ami a renormálási eljárás szempontjából fontos (lásd a következő fejezetet).

6. Renormálás és anomáliák

A kvantummechanika törvényei szerint egy mező energiája energiacsomagokból áll, és ezek az energiacsomagok tulajdonképpen a mezőhöz tartozó részecskék. A kvantummechanika rendkívülpontos előírásokat ad e részecskék kölcsönhatására, amint a mezőegyenletek ismertek és Lagrange-egyenlet formájában megadhatók. Az elméletet ezután kvantumtérelméletnek (QFT) nevezik, és nem csak azt magyarázza meg, hogy a részecskék cseréje hogyan közvetíti az erőket, hanem azt is kimondja, hogy többszörös cseréknek kell bekövetkezniük. Sok régebbi elméletben ez a többszörös csere nehézségeket okozott: hatásuk korlátlannak vagy végtelennek tűnt. Egy gauge-elméletben azonban a kis távolságok szerkezetét nagyon pontosan előírja a gauge-invariancia követelménye. Egy ilyen elméletben a többszörös kicserélődések végtelen hatását kombinálni lehet az érintett részecskék tömegének és töltésének újradefiniálásával. Ezt az eljárást nevezzüknormalizálásnak. 3 tér- és 1 idődimenzióban a legtöbb gaugetheória renormálható. Ez lehetővé teszi, hogy a többszörös részecskecsere hatásait nagy pontossággal kiszámítsuk, így lehetővé téve a kísérleti adatokkal való részletes összehasonlítást.

7. ábra: Hurkokat tartalmazó Feynman-diagramok a többszörös részecskecsere miatt. A hurkok gyakran végtelen kifejezéseket generálnak.

A renormálás megköveteli, hogy a részecskék tömegét és csatolási erősségét nagyon gondosan határozzuk meg. Ha egy elmélet összescsatolási paraméterének tömegdimenziója nulla vagy pozitív, akkor a divergens kifejezések száma ellenőrzés alatt marad. Általában, ha megköveteljük, hogy az elmélet a renormálási eljárás során végig gauge invariáns maradjon, a definíciók nem maradnak félreérthetőek. Azonban nem nyilvánvaló, hogy egyáltalán léteznek egyértelmű, mérőinvariáns definíciók, mivel a mérőinvariánsnak minden kölcsönhatásra érvényesnek kell lennie, míg csak néhány véges kifejezést lehet véges kifejezésekkel helyettesíteni.

A bizonyítás, amely megmutatta, hogyan és miért lehet egyértelmű renormalizált kifejezéseket kapni, a legelegánsabban úgy érhető el, ha megvalósítjuk, hogy a mérőelméleteket tetszőleges számú téridő dimenzióban lehet megfogalmazni. Még az is lehetséges volt, hogy az összes Feynmandiagramot egyértelműen definiáljuk az olyan térbeli elméletekre, ahol a dimenziók \(3-\epsilon\ ,\), ahol \(\epsilon\) egy végtelen mennyiség. Az \(\epsilon\rightarrow0\) határérték felvétele az eredeti, “csupasz” tömeg- és csatolási paraméterekből a\(C_n/\epsilon^n\) alakú pólusok kivonását igényli. Az eredmény egy sor egyedi, véges és mértékinvariáns kifejezés. A gyakorlatban kiderült, hogy ez az eljárás, amelyet dimenziós regularizációnak és renormalizációnak neveznek, a hurokdiagramok technikailag bonyolult számításainak elvégzésére is alkalmas.

8. ábra: Az anomáliák fő forrása az a diagram, ahol egy fermionikus részecske egy zárt háromszöget alkot, három mérőrészecskével csatolva.

Van azonban egy speciális eset, amikor a kiterjesztés a kanonikustól eltérő dimenziókra lehetetlen. Ez az, amikor afermionikus részecskék királis szimmetriát mutatnak. A királis szimmetria olyan aszimmetria, amely megkülönbözteti a balra forgó és a jobbra forgó részecskéket, és valóban döntő szerepet játszik a Standard Modellben.A királis szimmetria csak akkor lehetséges, ha a tér 3 dimenziós, és így nem teszi lehetővé a dimenziós renormálást. Valóban, néha a királis szimmetria nem tartható meg az elmélet renormálásakor. Ilyenkor anomália lép fel, amit királis anomáliának nevezünk. Először akkor fedezték fel, amikor a\(\pi_0\rightarrow\gamma\gamma\gamma\) bomlási amplitúdó számítása olyan válaszokat adott, amelyek nem követték a várt szimmetriamintázatot.

Mivel a Standard Modell gauge-szimmetriái megkülönböztetik a balra forgó és jobbra forgó részecskéket (különösen, hogy a gyenge kölcsönhatásban csak balra forgó neutrínók keletkeznek),az anomália nagy aggodalomra adott okot. Történetesen azonban az összes olyan anomális amplitúdó, amely veszélyeztetné a gauge-invarianciát és veszélyeztetné az egyenleteink önkonzisztenciáját, mind kioltódik. Ez összefügg azzal a ténnyel, hogy aStandard Modell bizonyos “nagy egyesített” kiterjesztései anomáliamentes mérőcsoportokon alapulnak (lásd a7. fejezetet).

Az anomáliának közvetlen fizikai következménye van. Egy topológiailag csavart térkonfiguráció, amelyet instantonnak nevezünk (mert egy adott időpillanatban bekövetkező eseményt képvisel), pontosan azt a mérőmező-konfigurációt képviseli, ahol az anomália maximális. Ez néhány mérőtöltés megőrzésének megsértését okozza. Anomália esetén az érintett töltések közül legalább az egyik nem lehet mérőtöltés, hanem olyan töltésnek kell lennie, amelyhez nem kapcsolódik mérőmező, mint például a bariontöltés.Valóban, az elektrogyenge elméletben az instantonok a bariontöltések megőrzési törvényeinek megsértését váltják ki. Ma már úgy gondolják, hogy ez magyarázatot adhat az anyag és az antianyag közötti egyensúlyhiányra, amely az Univerzum korai fázisaiban keletkezhetett.

7. Standard modell

A gyenge erő, az elektromágneses erő és az erőserő mellett létezik az elemi részecskékre ható gravitációs erő is. Más elemi erő nem ismert. Az egyedi részecskék szintjén a gravitáció olyan gyenge, hogy a legtöbb esetben figyelmen kívül hagyható. Tegyük fel, hogy a \( SU(2)\timesU(1)\) Yang-Mills rendszert a Higgs-mezővel együtt az elektromágnesesség és a gyenge erő leírására, és ehhez adjuk hozzá a\(SU(3)\) Yang-Mills elméletet az erős erőhöz, és felvesszük az összes ismert elemi anyagmezőt, azaz a kvarkokat és a leptonokat, a megfelelő transzformációs szabályaikkal az agauge-transzformáció alatt; tegyük fel, hogy ehhez hozzáadjuk az összes lehetséges módot, ahogyan ezek a mezők keveredhetnek, ami kísérletileg megfigyelt tulajdonság, és ami a mezők alapvető önkölcsönhatásaként számolható el. Ekkor megkapjuk az úgynevezett Standard Modellt. Ez egy nagyméretű elmélet, amely szó szerint reprezentálja a szubatomi részecskékről és kölcsönhatásaikról alkotott összes jelenlegi ismeretünket.

A Standard Modell annak köszönheti erejét, hogy normálható. Számos kísérleti kísérlet és megfigyelés tárgyát képezte. Mindezeknek a teszteknek figyelemre méltóan jól ellenállt. Egy fontos módosítás elkerülhetetlenné vált az 1990-es évek elején: a leptonikus szektorban a neutrínók is kis tömeget hordoznak, és mezőik keverednek. Ez nem volt teljesen váratlan, de a rendkívül sikeres neutrínókísérletek (különösen a japán Kamiokande-kísérlet) világossá tették, hogy ezek a hatások valóban léteznek. Ezek valójában a Standard Modell további megerősödését jelentették.

Egy összetevő még nem nyert megerősítést: a Higgs-részecske.Ennek az objektumnak a megfigyelése a közeljövőben várható, nevezetesen a genfi CERN nagy hadronütköztetőjében. A Standard Modell legegyszerűbb változatai csak egyetlen, elektromosan semleges Higgs-részecskét feltételeznek, de a “Higgs-szektor” ennél bonyolultabb lehet: a Higgs sokkal nehezebb lehet a jelenleg vártnál, vagy egynél több fajtája is létezhet, ebben az esetben elektromosan töltött skalár részecskéket is találnánk.

A Standard Modell matematikai szempontból nem tökéletes.Rendkívül nagy energiáknál (sokkal nagyobb energiáknál, mint amit ma a részecskegyorsítókban el lehet érni) az elmélet természetellenessé válik. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy már nem hisszük el, hogy minden pontosan az elméletben leírtak szerint fog történni; új jelenségekre kell számítani. A legnépszerűbb forgatókönyv egy új szimmetria, az úgynevezett szuperszimmetria megjelenése, amely a bozonokat a fermionokkal (olyan részecskékkel, mint az elektronok és a kvarkok, amelyek leírásához Dirac-mezőkre van szükség) összekapcsoló szimmetria.

8. A szimmetria a bozonok és a fermionok szimmetriája. Nagy Egyesített Elméletek

Természetes a gyanú, hogy az elektrogyenge erőket és az erőserőket is gaugeforgásoknak kell összekapcsolniuk. Ez azt jelentené, hogy a szubatomi részecskék közötti összes erő valójában gauge-transzformációkkal kapcsolódik egymáshoz. Erre nincs közvetlen bizonyíték, de több körülmény is ebbe az irányba mutat. A Standard Modell jelenlegi változatában a \(SU(3)\) Yang-Mills mezők, amelyek az erős erőt írják le, valóban nagyon nagy csatolási erősséget mutatnak, míg az elektromos (és a gyenge szektor egy részét leíró) \(U(1)\)szektornak kicsi a csatolási erőssége. Most már használhatjuk a renormálás matematikáját, különösen az úgynevezett renormálási csoportot, hogy kiszámítsuk ezen erők effektív erősségét sokkal magasabb energiáknál. Megállapítható, hogy az \(SU(3)\) erők erőssége az aszimptotikus szabadság miatt csökken, de az \(U(1)\) csatolási erőssége nő. Az \(SU(2)\)erő lassabban változik. Rendkívül nagy energiáknál, amelyek ultra rövid távolsági skáláknak felelnek meg, \(10^{-32}\) cm körül, úgy tűnik, hogy a három csatolási erő közelít egymáshoz, mintha ez lenne az a hely, ahol az erők egyesülnek.

Megállapítottuk, hogy az \(SU(2)\times U(1)\) és az \(SU(3)\) elég szépen illeszkedik az \(SU(5)\ .\) nevű csoportba. Valóban az\(SU(5)\ .\) egy alcsoportját alkotják. Feltételezhetjük, hogy egy Brout-Englert-Higgs-mechanizmus ezt a csoportot egy \(SU(2)\times U(1)\times SU(3)\) alcsoportra bontja. Egy úgynevezett Nagy Egyesített Mezőelméletet kapunk. Ebben az elméletben három generációs offermiont feltételezünk, amelyek mindegyike ugyanúgy átalakul az \(SU(5)\)transzformációk alatt (matematikailag egy \(\mathbf{10}\)és egy \(\(\overline{\mathbf{5}}}\) reprezentációt alkotnak).

Az \(SU(5)\) elmélet azonban azt jósolja, hogy a proton rendkívül lassan kandekál leptonokra és pionokra. A bomlást keresték, de nem találták meg. Ebben a modellben nem könnyű számolni a neutrínótömeggel és annak keveredésével sem. Egy jobb elméletet találtak, ahol a \( SU(5)\) \(SO(10)\)-re van kibővítve.\)Az \(SU(5)\) \(\mathbf{10}\) és \(\overline{\mathbf{5}}}\)ábrázolásai egyetlen jobbkezes neutrínómezővel együtt az \(SO(10)\) \(\mathbf{16}\) ábrázolásában egyesülnek (mindhárom generációhoz egy-egy).Ez a nagy egyesített modell a neutrínókat a töltött leptonokkal azonos szintre helyezi. Gyakran kiterjesztik egy szuperszimmetrikus változatra.

9. Záró megjegyzések

Minden mérőelmélet a következőképpen épül fel. Először is válasszuk ki a gaugegroupot. Ez lehet tetszőleges számú irreducibilis,kompakt Lie-csoport közvetlen szorzata, akár a \(SU(N)\ ,\)\)\(SO(N)\) vagy \(Sp(2N)\ ,\) sorozatból, akár a kivételes csoportok\(G_2,\ F_4,\ E_6, E_7,\) vagy \(E_8\ .\) Ezután válasszunkfermionikus (spin 1/2) és skalár (spin 0) mezőket, amelyek e lokális mérőcsoport reprezentációit alkotják. A fermionikus mezők bal helicitású és jobb helicitású komponensei lehetnek közömbös ábrázolások, feltéve, hogy az anomáliák kiegyenlítődnek.A helyi mérőcsoporton kívül pontos és/vagy közelítő globális szimmetriákat is előírhatunk. Végül válasszunk tömegterminusokat és kölcsönhatási kifejezéseket a Lagrange-ban, amelyeket szabadon beállítható csatolási paraméterekkel írunk le. Csak véges számú ilyen paraméter lesz,feltéve, hogy minden kölcsönhatás renormálható típusúnak van választva (ez most már könnyen kiolvasható az elmélet Lagrange-jából).

Végtelenül sokféleképpen lehet gauge-elméleteket konstruálni az elmélet vonalai mentén. Úgy tűnik azonban, hogy a megfigyelt elemi részecskék leírására a leghasznosabbak a viszonylag egyszerű modellek, amelyek meglehetősen elemi matematikai csoportokon és reprezentációkon alapulnak. Elgondolkodhatunk azon, hogy miért tűnik a természet ilyen egyszerűnek, és hogy ez így is marad-e, amikor új részecskéket és kölcsönhatásokat fedeznek fel. Elképzelhető, hogy bonyolultabb mérőelméletekre lesz szükség a kölcsönhatások leírásához olyan energiáknál, amelyek ma még nem érhetők el a részecskegyorsítókban.

Kapcsolódó témák a szuperszimmetria és a szuperhúrelmélet. Ezek újabb elképzelések a részecskeszerkezetről és a részecskeszimmetriákról, ahol a gauge-invariancia szintén nagyon alapvető szerepet játszik.

• Yang, C N és Mills, R L (1954). Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review 96: 191-195.
• Higgs, P W (1964). Megtört szimmetriák, tömeg nélküli részecskék és gauge-mezők. Phys. Lett. 12: 132.
• Higgs, P W (1964). Megtört szimmetriák és a gauge-bozonok tömegei. Phys. Rev. Lett. 13: 508.
• Higgs, P W (1966). Spontán szimmetriabomlás tömeg nélküli bozonok nélkül. Phys. Rev. 145: 1156.
• Englert, F és Brout, R (1964). Megtört szimmetria és a gauzvektor-mezonok tömege. Phys. Rev. Lett. 13: 321.
• Weinberg, S (1967). A Leptonok modellje. Phys. Rev. Lett. 19: 1264.
• Faddeev, L D és Popov, V N (1967). Feynman-diagramok a Yang-Mills mezőre. Phys. Lett. 25B: 29.
• ‘t Hooft, G (1971). A tömeg nélküli Yang-Mills mezők renormalizálása. Nucl. Phys. B33: 173.
• ‘t Hooft, G (1971). Renormálható Lagrange-ok tömeges Yang-Mills mezőkhöz. Nucl. Phys. B35: 167.
• Taylor, J C (1971). Ward-azonosságok és a Yang-Mills-mező töltés-renormalizációja. Nucl. Phys. B33: 436.
• Slavnov, A (1972). Ward-azonosságok a gauge-elméletekben Theor. Math. Phys. 10: 153.
• ‘t Hooft, G és Veltman, M (1972). A gauge-mezők regularizációja és renormalizációja. Nucl. Phys. B44: 189.
• Adler, S L (1969). Tengelyvektor-csúcs a spinor elektrodinamikában Phys. Rev. 177: 2426.
• Bell, J S és Jackiw, R (1969). A PCAC rejtély: π0→γγ a σ-modellben Nuovo Cim. 60A: 47.
• Adler, S L és Bardeen, W A (1969). A magasabb rendű korrekciók hiánya az anomális tengely-vektor eltérési egyenletben. Phys. Rev. 182: 1517.
• Bardeen, W A (1969). Anomális Ward-azonosságok spinor-térelméletekben. Phys. Rev. 184: 1848.
• Fritzsch, H; Gell-Mann , M és Leutwyler, H (1973). A színes oktett gluon kép előnyei Phys. Lett. 47B: 365.
• De Rujula, A; Georgi, H; Glashow, S L és Quinn, H (1974). Tény és képzelet a neutrínófizikában. Rev. Mod. Phys. 46: 391.

További olvasmányok

• Crease, R P és Mann, C C (1986). The Second Creation: Makers of the revolution in twentieth-century physics, Macmillan, New York. ISBN 0-02-521440-3.
• ‘t Hooft, G (1997). In Search of the Ultimate Building Blocks (angol fordítása: “Bouwstenen van de Schepping”) Cambridge Univ. Press, Cambridge. ISBN 0521550831.
• ‘t Hooft, G (1994). A mérőelv bűvöletében. Advanced Series in Mathematical Physics 19. World Scientific, Szingapúr. ISBN 9810213093.
• ‘t Hooft, G (2005). A Yang-Mills elmélet 50 éve World Scientific, Szingapúr. ISBN 978-981-256-007-0.
• de Wit, B és Smith, J (1986). Field Theory in Particle Physics North Holland, Amsterdam. ISBN 0444869999.
• Aitchison, I J R és Hey, A J G (1989). Gauge Theories in Particle Physics, a practical introduction Adam Hilger, Bristol and Philadelphia. ISBN 0-85274-329-7.
• Itzykson, C és Zuber, J B (2006). Quantum Field Theory Dover Publications, New York. ISBN 0486445682.
• Ryder, L H (1997). Quantum Field Theory Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521478146.

Lásd még

Becchi-Rouet-Stora-Tyutin szimmetria, Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble_mechanizmus, Gauge-invariancia, Slavnov-Taylor azonosságok, Zinn-Justin egyenlet

• http://www.phys.uu.nl/~thooft/