Tartalom:

1. Mi az exponens?
2. Hogyan kell az exponenseket eliminálni.

Lásd még: A hatványszabály

Exponensek: Definíció

Az exponens egy egyszerűsített módja annak, hogy egy számot hányszor szorozzunk meg önmagával. Amikor exponensekkel foglalkozunk, tudnunk kell, hogy melyik szám jelenti az alapszámot, és melyik az exponens.

• A bázisszám az a szám, amelyet megszorozunk önmagával. Általában nagyobb betűtípussal írják.
• Az exponens megmondja, hogy az alapszámot hányszor szorozzuk meg önmagával. Általában kisebb betűtípussal írják (felső indexként).

Az alábbi példában mindkettő szerepel:

A fentiek szerint a 4 az alapszám. Az exponens 3. Ez azt jelenti, hogy 4-et háromszor szorozzuk meg önmagával . Először szorozzuk meg 4 x 4-et, hogy megkapjuk a 16-ot. Ezután szorozd meg ezt a számot 4-gyel . Ezért 43 egyenlő 64.

Ebből a példából két fontos megállapítást tehetsz. Először is, vedd észre, mennyivel egyszerűbb az exponens használata, mint a szorzás hosszú formában történő kiírása. Elképzelhető, hogy sokkal nagyobb exponensek esetén milyen bonyolult lenne kiírni. Másodszor, az exponens növekedésével az alapszám exponenciálisan nő. Nincs korlátja annak, hogy egy szám hányszor szorozható önmagával.

Ahol az exponens 1 vagy 0

Ha látod, hogy az exponens 1, akkor a válasz maga a szám lesz (másképpen fogalmazva: bármely szám 1-gyel szorozva ugyanaz marad).

Ha azt látod, hogy az exponens 0, akkor a válasz 1 lesz, függetlenül attól, hogy milyen értékű az alapszám.

Negatív exponensek

A negatív exponens azt mondja, hogy a számot 1-gyel kell osztani az alapszámmal. Ezt könnyen megjegyezhetjük úgy, hogy a negatív a pozitív ellentéte, az osztás pedig a szorzás ellentéte. Nézzünk egy példát:

A 8 negatív 4. hatványra kiírva a következő: 1/8/8/8/8/8

1. Osszuk el 1-et 8-cal, ami 0,125
2. Ezután osszuk el a 0,125-öt 8-cal, ami 0,015625
3. Osszuk el a 0,015625-öt 8-cal, ami 0.001953125
4. Végül osszuk el a 0,001953125-öt 8-cal, így megkapjuk a 0,0002441406

Hogyan lehet kiküszöbölni az exponenseket

Az exponensek trükkös tényezőt jelenthetnek az egyenletek kezelésében, és amikor az exponensekben változók is vannak, még bonyolultabbá válik a dolog. Néhány exponens kiküszöbölése lehetséges a The Power Rule segítségével, de ez nem működik a 2-nél nagyobb exponenseknél. Az exponensek kiküszöbölésének másik módja az, hogy az exponenseket egy kezelhetőbb formába alakítjuk át a logaritmus függvény segítségével.

A közös logaritmus grafikonja.

Ha nem ismered a logaritmusokat, akkor érdemes elolvasnod a logaritmus definícióját, mielőtt tovább olvasnál. Alapvetően a logaritmusok egyszerűen egy exponens más formában, ezért használhatod őket az exponensek kiküszöbölésére. Például a log10100 = 2 ugyanaz, mint a 102 = 100. Általánosabban ez:

A logaritmus megjelenhet ln(x) formában is, ami az e, a természetes szám bázisára vett logaritmus.

Hogyan lehet a számtanban exponenseket eliminálni: Példa

Példafeladat: Oldjuk meg az x értékét, ha 10 5x hatványra plusz 10 egyenlő 20-zal.

1. lépés: Állítsuk fel az egyenletet a kérdésben megadott információk alapján.
105x + 10 = 20

2. lépés: Vegyünk mindkét oldalról 10-et, hogy a változó melletti 10-et kiiktassuk. Ez egy alapvető algebrai lépés, de mégis fontos.
105x + 10 – 10 = 20 – 10
Így:
105x = 10

3. lépés: Vegyük mindkét oldal logaritmusát.
log(105x) = log(10)

4. lépés: Alkalmazzuk a logaritmusszabályt, amely szerint log_b(ac) = c * log_b(a).1

Azt használva a változót kivehetjük az exponensből, és olyan formában hagyhatjuk, amit egyszerűsíteni tudunk. Ha felidézzük, hogy egy index nélküli logot 10-es bázisúnak tekintünk, akkor a log_10(10) = y-t könnyen egyszerűsíthetjük 1-re, mivel by = x 101 = 10.
5x * 1 = 1

5. lépés: Osszuk mindkét oldalt 5-tel, hogy a változót elkülönítsük. Így a végső válaszod 1/5 lesz, vagyis 0,2.
5x/5 = 1/5 -> x = 1/5 = 0,2

Megjegyzések

1: Ha felfrissítésre van szükséged a logaritmusszabályokról, lásd a Matematikai előfeltételek- görgess le az 5. pontig. Exponensek és logaritmusok.

York University Course Archive. Matematikai előfeltételek. Retrieved January 1, 2019 from: https://www.eecs.yorku.ca/course_archive/2011-12/W/3101/prereq.pdf

——————————————————————————

Segítségre van szüksége egy házi feladathoz vagy tesztkérdéshez? A Chegg Study segítségével lépésről lépésre megoldásokat kaphatsz a kérdéseidre egy szakértőtől. Az első 30 perc egy Chegg oktatóval ingyenes!