This text presents a graduate-level introduction to differential geometry for mathematics and physics students. Az ismertetés követi a kapcsolat és a görbület fogalmának történeti fejlődését azzal a céllal, hogy megmagyarázza a főkötegre vonatkozó karakterisztikus osztályok Chern-Weil-elméletét. Útközben találkozunk a differenciálgeometria történetének néhány csúcspontjával, például Gauss Egregium-tételével és a Gauss-Bonnet-tétellel. Az egész könyvben található gyakorlatok tesztelik az olvasó megértését az anyaggal kapcsolatban, és néha az elmélet kiterjesztéseit szemléltetik. Kezdetben az olvasó számára előfeltétel a sokrétűségekkel való halvány ismeret. Az első fejezet után szükségessé válik a differenciálformák megértése és kezelése. A de Rham-kohomológia ismerete a szöveg utolsó harmadához szükséges.

Az előfeltételes anyagot a szerző An Introduction to Manifolds című szövege tartalmazza, és egy félév alatt megtanulható. Az olvasó kedvéért és a közös jelölések megállapítása érdekében az A. függelék felidézi a sokaságelmélet alapjait. Ezenfelül a kifejtés önállóságának fokozására tett kísérletként olyan algebrai konstrukciókról szóló szakaszok is szerepelnek, mint a tenzorproduktum és a külső hatvány.

A differenciálgeometria, ahogy a neve is mutatja, a geometria tanulmányozása a differenciálszámítás segítségével. A XVII. századi Newtonra és Leibnizre nyúlik vissza, de csak a XIX. században, Gauss felületekkel és Riemann görbületi tenzorral kapcsolatos munkáival virágzott fel a differenciálgeometria, és fektették le modern alapjait. Az elmúlt száz évben a differenciálgeometria nélkülözhetetlennek bizonyult a fizikai világ megértéséhez Einstein általános relativitáselméletében, a gravitációelméletben, a mérőelméletben és most a húrelméletben. A differenciálgeometria többek között a topológiában, a többszörösen összetett változókban, az algebrai geometriában, a komplex sokrétűségekben és a dinamikus rendszerekben is hasznos. A terület még a csoportelméletben is talált alkalmazásokat, mint Gromov munkájában, és a valószínűségelméletben, mint Diaconis munkájában. Nem túlzás azt állítani, hogy a differenciálgeometriának minden matematikus arzenáljában ott kellene lennie.