KvantumelektrodinamikaSzerkesztés

A kvantummechanika megjelenéséig a gauge-szimmetria egyetlen jól ismert példája az elektromágnesességben volt, és a fogalom általános jelentőségét nem értették teljesen. Például nem volt egyértelmű, hogy az E és B mezők vagy a V és A potenciálok jelentik-e az alapvető mennyiségeket; ha az előbbiek, akkor a gauge-transzformációkat nem lehetett másnak tekinteni, mint matematikai trükknek.

Aharonov-Bohm kísérletSzerkesztés

A kvantummechanikában egy részecske, például az elektron, hullámként is leírható. Ha például a kettős réskísérletet elektronokkal végezzük, akkor hullámszerű interferenciamintázatot figyelhetünk meg. Az elektron észlelésének valószínűsége ott a legnagyobb, ahol a két résen áthaladó hullám részei fázisban vannak egymással, ami konstruktív interferenciát eredményez. Az elektronhullám frekvenciája az E = hf kvantummechanikai összefüggésen keresztül függ össze az egyes elektronrészecskék kinetikus energiájával. Ha ebben a kísérletben nincsenek elektromos vagy mágneses terek, akkor az elektron energiája állandó, és például nagy valószínűséggel észlelhető az elektron a kísérlet középső tengelye mentén, ahol a szimmetria miatt a hullám két része fázisban van.

De most tegyük fel, hogy a kísérletben az elektronokat elektromos vagy mágneses terek érik. Ha például a tengely egyik oldalára elektromos mezőt kényszerítenénk, de a másik oldalára nem, az befolyásolná a kísérlet eredményeit. Az elektronhullámnak azon az oldalon áthaladó része más sebességgel rezeg, mivel energiájához -eV adódik, ahol -e az elektron töltése, V pedig az elektromos potenciál. A kísérlet eredményei eltérőek lesznek, mert az elektronhullám két része közötti fázisviszonyok megváltoztak, és ezért a konstruktív és destruktív interferencia helyei az egyik vagy a másik oldalra tolódnak. Itt az elektromos potenciálról van szó, nem pedig az elektromos térről, és ez annak a ténynek a megnyilvánulása, hogy a kvantummechanikában a potenciáloknak és nem a mezőknek van alapvető jelentősége.

Magyarázat a potenciálokkalSzerkesztés

Még akkor is előfordulhatnak olyan esetek, amikor egy kísérlet eredményei eltérnek a potenciálok megváltoztatásakor, ha egyetlen töltött részecske sem kerül különböző térbe. Ilyen példa az ábrán látható Aharonov-Bohm-effektus. Ebben a példában a szolenoid bekapcsolása csak azt okozza, hogy a szolenoidon belül B mágneses tér keletkezik. A szolenoidot azonban úgy helyezték el, hogy az elektron nem tud áthaladni a belsején. Ha azt hinnénk, hogy a mezők az alapvető mennyiségek, akkor azt várnánk, hogy a kísérlet eredményei változatlanok maradnak. A valóságban az eredmények mások, mert a szolenoid bekapcsolása megváltoztatta az A vektorpotenciált abban a régióban, amelyen az elektronok valóban áthaladnak. Most, hogy megállapítottuk, hogy a V és A potenciálok az alapvetőek, és nem az E és B mezők, láthatjuk, hogy a V-t és A-t megváltoztató gauge-transzformációknak valódi fizikai jelentőségük van, és nem csupán matematikai műtermékek.

Gauge-invariancia: a kísérletek eredményei függetlenek a potenciálok gauge-választásátólSzerkesztés

Megjegyezzük, hogy ezekben a kísérletekben az egyetlen mennyiség, ami befolyásolja az eredményt, az az elektronhullám két része közötti fáziskülönbség. Tegyük fel, hogy az elektronhullám két részét apró óráknak képzeljük el, mindkettőnek egyetlen mutatója van, amely körbe-körbe jár, és a saját fázisát követi. Bár ez a karikatúra figyelmen kívül hagy néhány technikai részletet, megtartja az itt fontos fizikai jelenségeket. Ha mindkét órát ugyanannyival gyorsítjuk, a köztük lévő fázisviszony nem változik, és a kísérletek eredményei is ugyanazok. Nem csak ez, de még az sem szükséges, hogy mindkét óra sebességét fix összeggel változtassuk. Változtathatjuk mindkét óra mutatójának szögét egy változó θ értékkel, ahol θ függhet mind a térbeli helyzettől, mind az időtől. Ez nem befolyásolná a kísérlet eredményét, mivel az elektron helyének végső megfigyelése egyetlen helyen és időben történik, így az egyes elektronok “órájának” fáziseltolódása azonos lenne, és a két hatás kioltaná egymást. Ez egy újabb példa a gauge-transzformációra: lokális, és nem változtatja meg a kísérletek eredményét.

ÖsszefoglalóSzerkesztés

Összefoglalva, a gauge-szimmetria a kvantummechanika összefüggésében éri el teljes jelentőségét. A kvantummechanika elektromágnesességre való alkalmazásában, azaz a kvantumelektrodinamikában a gauge-szimmetria mind az elektromágneses hullámokra, mind az elektronhullámokra érvényes. Ez a két mérőszimmetria valójában szorosan összefügg egymással. Ha például az elektronhullámokra θ gauge-transzformációt alkalmazunk, akkor az elektromágneses hullámokat leíró potenciálokra is alkalmazni kell egy megfelelő transzformációt. A mérőszimmetriára azért van szükség, hogy a kvantumelektrodinamika renormálható elmélet legyen, azaz, amelyben az összes fizikailag mérhető mennyiség kiszámított előrejelzése véges.

A mérőszimmetriák típusaiSzerkesztés

A fenti alfejezetben az elektronok kis órákként való leírása tulajdonképpen azoknak a matematikai szabályoknak a megállapítása, amelyek szerint az elektronok fázisait össze kell adni és ki kell vonni: közönséges számokként kell kezelni őket, kivéve, hogy abban az esetben, ha a számítás eredménye a 0≤θ<360° tartományon kívül esik, kényszerítjük, hogy a megengedett tartományba “tekeredjen”, ami egy kört takar. Másképpen fogalmazva, egy mondjuk 5°-os fázisszöget teljesen egyenértékűnek tekintünk egy 365°-os szöggel. Kísérletek igazolták ezt a tesztelhető állítást az elektronhullámok által alkotott interferenciamintázatokról. A “körbetekeredés” tulajdonságát leszámítva ennek a matematikai struktúrának az algebrai tulajdonságai pontosan megegyeznek a közönséges valós számokéval.

A matematikai terminológiában az elektronfázisok egy abéliumi csoportot alkotnak az összeadás alatt, amelyet körcsoportnak vagy U(1) csoportnak neveznek. Az “abeliánus” azt jelenti, hogy az összeadás kommutál, tehát θ + φ = φ + θ. A csoport azt jelenti, hogy az összeadás asszociál, és van egy azonossági eleme, nevezetesen “0”. Továbbá minden fázisnak létezik egy olyan inverze, hogy egy fázis és az inverze összege 0. További példák abéls csoportokra az egész számok az összeadás, a 0 és a negáció, valamint a nem nulla törtek a szorzat, az 1 és a reciprok alatt.

A görbe kiválasztásának szemléltetésére gondoljunk arra, hogy meg lehet-e mondani, hogy egy henger csavarodott. Ha a hengeren nincsenek dudorok, jelek vagy karcolások, akkor nem tudjuk megállapítani. Rajzolhatunk azonban egy tetszőleges görbét a henger mentén, amelyet valamilyen θ(x) függvény határoz meg, ahol x a henger tengelye mentén mért távolságot méri. Ha ezt az önkényes választást (a mérőeszköz megválasztását) egyszer már megtettük, akkor lehetővé válik, hogy észleljük, ha valaki később elforgatja a hengert.

1954-ben Chen Ning Yang és Robert Mills azt javasolta, hogy ezeket az elképzeléseket általánosítsák a nemkommutatív csoportokra. Egy nemkommutatív gauge-csoport olyan mezőt írhat le, amely az elektromágneses mezőtől eltérően kölcsönhatásba lép önmagával. Az általános relativitáselmélet például azt állítja, hogy a gravitációs mezőknek energiájuk van, a speciális relativitáselmélet pedig arra a következtetésre jut, hogy az energia egyenértékű a tömeggel. Ezért egy gravitációs mező további gravitációs mezőt indukál. A nukleáris erők is rendelkeznek ezzel az önkölcsönhatási tulajdonsággal.

Gauge-bozonokSzerkesztés

Meglepő módon a gauge-szimmetria mélyebb magyarázatot adhat a kölcsönhatások, például az elektromos és a nukleáris kölcsönhatások létezésére. Ez a gauge-szimmetria egy olyan típusából adódik, amely azzal a ténnyel kapcsolatos, hogy egy adott típusú részecskék kísérletileg megkülönböztethetetlenek egymástól. Képzeljük el, hogy Alice és Betty egypetéjű ikrek, akiket születésükkor A és B feliratú karkötőkkel jelöltek meg. Mivel a lányok egyformák, senki sem tudná megállapítani, ha születésükkor felcserélték volna őket; az A és B feliratok önkényesek, és felcserélhetők. Azonosságuk ilyen állandó felcserélése olyan, mint egy globális mérőszimmetria. Létezik egy megfelelő lokális gauge-szimmetria is, amely azt a tényt írja le, hogy egyik pillanatról a másikra Alice és Betty felcserélhetik a szerepüket, miközben senki sem figyel, és senki sem lenne képes észrevenni. Ha megfigyeljük, hogy anya kedvenc vázája összetört, csak arra tudunk következtetni, hogy a hiba az egyik vagy a másik ikertestvéré, de nem tudjuk megmondani, hogy a hiba 100%-ban Alice-é és 0%-ban Betty-é, vagy fordítva. Ha Alice és Betty valójában kvantummechanikai részecskék és nem emberek, akkor hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek, beleértve a szuperpozíció tulajdonságát, amely lehetővé teszi a hullámok tetszőleges összeadását, kivonását és keverését. Ebből következik, hogy még csak nem is korlátozódunk az azonosság teljes felcserélésére. Ha például megfigyeljük, hogy egy bizonyos mennyiségű energia létezik a tér egy bizonyos helyén, nincs olyan kísérlet, amely megmondaná, hogy ez az energia 100% A és 0% B, 0% A és 100% B, vagy 20% A és 80% B, vagy valamilyen más keverék. Az a tény, hogy a szimmetria lokális, azt jelenti, hogy még arra sem számíthatunk, hogy ezek az arányok állandóak maradnak, ahogy a részecskék terjednek a térben. Ennek matematikai ábrázolásának részletei a részecskék spinjével kapcsolatos technikai kérdésektől függnek, de jelen célunk érdekében tekintsünk egy spin nélküli részecskét, amely esetében kiderül, hogy a keveredés megadható a θ(x) mérőszög tetszőleges megválasztásával, ahol a θ = 0° szög 100% A-t és 0% B-t jelent, θ = 90° 0% A-t és 100% B-t jelent, a köztes szögek pedig keveredést jelentenek.

A kvantummechanika elvei szerint a részecskéknek valójában nincs pályájuk a térben. A mozgás csak hullámokkal írható le, és az egyes részecskék p impulzusát a λ hullámhosszhoz p = h/λ viszonyítja. Empirikus mérések szempontjából a hullámhossz csak úgy határozható meg, hogy megfigyeljük a hullám változását a tér egyik pontja és egy másik közeli pont között (matematikailag differenciálással). A rövidebb hullámhosszú hullám gyorsabban oszcillál, ezért gyorsabban változik a közeli pontok között. Most tegyük fel, hogy önkényesen rögzítünk egy mérőeszközt a tér egy pontján, mondván, hogy az energia azon a helyen 20%-ban A és 80%-ban B hullám. Ezután megmérjük a két hullámot egy másik, közeli ponton, hogy meghatározzuk a hullámhosszukat. De két teljesen más okból is megváltozhattak a hullámok. Megváltozhattak, mert egy bizonyos hullámhosszon oszcilláltak, vagy azért változhattak meg, mert a mérőfüggvény 20-80-as keverékről mondjuk 21-79-re változott. Ha a második lehetőséget figyelmen kívül hagyjuk, az így kapott elmélet nem működik; furcsa eltérések mutatkoznak az impulzusokban, ami sérti az impulzusmegmaradás elvét. Valamit meg kell változtatni az elméletben.

Még mindig vannak technikai kérdések a spinnel kapcsolatban, de számos fontos esetben, beleértve az elektromosan töltött részecskéket és a nukleáris erőkön keresztül kölcsönható részecskéket, a probléma megoldása az, hogy a θ(x) mérőfüggvénynek fizikai valóságot tulajdonítunk. Azt mondjuk, hogy ha a θ függvény oszcillál, akkor egy újfajta kvantummechanikai hullámot képvisel, és ennek az új hullámnak saját impulzusa van p = h/λ, amiről kiderül, hogy befoltozza azokat az ellentmondásokat, amelyek egyébként az impulzusmegmaradást megbontanák. Az elektromágnesesség kontextusában az A és B részecskék töltött részecskék, például elektronok lennének, a θ által képviselt kvantummechanikai hullám pedig az elektromágneses mező lenne. (Itt figyelmen kívül hagyjuk azokat a technikai kérdéseket, amelyeket az a tény vet fel, hogy az elektronok spinje valójában 1/2, nem pedig nulla. Ez a túlzott leegyszerűsítés az oka annak, hogy a θ mérőmező skalárnak bizonyul, míg az elektromágneses mezőt valójában egy V-ből és A-ból álló vektor képviseli). Az eredmény az, hogy van magyarázatunk az elektromágneses kölcsönhatások jelenlétére: ha megpróbálunk egy azonos, egymással nem kölcsönható részecskékből álló, gauge-szimmetrikus elméletet konstruálni, az eredmény nem önkonzisztens, és csak a részecskék kölcsönhatását okozó elektromos és mágneses mezők hozzáadásával javítható.

Bár a θ(x) függvény hullámot ír le, a kvantummechanika törvényei megkövetelik, hogy részecske tulajdonságokkal is rendelkezzen. Az elektromágnesesség esetében az elektromágneses hullámoknak megfelelő részecske a foton. Az ilyen részecskéket általában mérőbozonoknak nevezik, ahol a “bozon” kifejezés egész számú spinnel rendelkező részecskére utal. Az elmélet legegyszerűbb változataiban a mérőbozonok tömeg nélküliek, de lehetséges olyan változatok konstruálása is, amelyekben tömegük van, mint például a nukleáris bomlási erőket közvetítő mérőbozonok esetében.

A mérőbozonok az elmélet legegyszerűbb változataiban tömeg nélküliek.