Ez egy rövid bevezetés a Galois-elméletbe. Ennek a cikknek a szintje szükségszerűen elég magas néhány NRICH-cikkhez képest, mivel a Galois-elmélet egy nagyon nehéz téma, amelyet általában csak az alapfokú matematikai diploma utolsó évében mutatnak be. Ez a cikk csak a Galois-elmélet felszínét súrolja, és valószínűleg egy 17-18 éves, a matematika iránt erősen érdeklődő iskolás számára is hozzáférhetőnek kell lennie. Az alábbi bevezetőben rövid és nagyon homályos áttekintést adunk a Galois-elmélet két fontos alkalmazásáról. Ha többet akarsz tudni a Galois-elméletről, a cikk további része mélyebb, de nehezebb is.
A cikk mélyebb részének megértéséhez a két legfontosabb tudnivaló a komplex számok és a csoportelmélet. Ha még nem találkoztál a komplex számokkal, akkor olvasd el az An Introduction to Complex Numbers (Bevezetés a komplex számokba) című könyvet , amely a 15-16 éves diákok számára is elérhetőnek kell lennie. Ha még nem találkoztál korábban a csoportelmélettel, ne aggódj. Az alábbiakban bemutatom a csoport eszméjét, bár lehet, hogy jobb lesz, ha megpróbálsz keresni egy olyan könyvet vagy weboldalt, amely részletesebben foglalkozik vele.
1.1 Motiváció
A csoportelmélet egy nagyon nagy téma, és amíg nem merülsz el eléggé a matematikai tanulmányokban, ami szokatlan, hacsak nem tanulsz matematika szakra, elég értelmetlennek tűnhet. Van azonban két probléma, ami némi motivációt ad a Galois-elmélet tanulmányozására – olyan polinomok létezése, amelyek nem oldhatók meg gyökökkel, és néhány eredmény a klasszikus euklideszi geometriáról,például hogy nem lehet egy szöget háromszögelni vonalzóval és iránytűvel, és hogy bizonyos szabályos sokszögeket nem lehet vonalzóval és iránytűvel konstruálni.
Definíció Ha egy racionális együtthatókkal rendelkező polinom megoldásait csak racionális számok és az összeadás, kivonás, osztás, szorzás és az n-edik gyök megtalálása műveleteinek segítségével tudjuk megtalálni, akkor azt mondjuk, hogy $p(x)$ gyökökkel oldható.
1.2 Történet
Miért hívják tehát a Galois-elméletet Galois-elméletnek? A válasz az, hogy egy francia matematikusról, Evariste Galois-ról (1811-1832) nevezték el, aki nagyon fontos munkát végzett ezen a területen. Nagyon drámai és nehéz élete volt, sok munkáját nem sikerült elismertetnie, mivel nagyon nehezen tudta magát világosan kifejezni. Például nem vették fel Párizs vezető egyetemére, az Ecole Polytechnique-ra, és be kellett érnie az Ecole Normale-val. Politikai szimpátiája miatt is nehézségekbe ütközött, republikánus volt. Ez oda vezetett, hogy kirúgták az Ecole Normale-ról, amikor levelet írt egy újságnak, amelyben bírálta az iskola igazgatóját. Csatlakozott a milícia republikánus ágához, és később (kétszer is) bebörtönözték tagsága miatt. A második alkalommal a börtönben beleszeretett a börtönorvos lányába, Stephanie-Felice du Motelbe, majd szabadulása után párbajban halt meg Perscheux d’Herbinville-lel. A párbaj okai nem teljesen világosak, de valószínű, hogy Stephanie-hoz volt köze. Halála köztársasági zavargásokat és gyűléseket indított el, amelyek több napig tartottak.
Bár gyakran Galois-t tartják a csoportelmélet és a Galois-elmélet feltalálójának, úgy tűnik, hogy egy olasz matematikus, Paolo Ruffini (1765-1822) találhatott ki először sok ötletet. Sajnos elképzeléseit az akkori matematikai közösség többi tagja nem vette komolyan. A dokumentum végén található néhány link azok számára, akik többet szeretnének megtudni a csoportelmélet és a Galois-elmélet történetéről.
1.3 Áttekintés
A gyökök oldhatóságára vonatkozó fenti eredmény bizonyításának módja (a Galois-elmélet segítségével) egy polinom gyökei közötti szimmetriák gyűjteményére vonatkozó eredmény bizonyítása, feltéve, hogy a gyökök csak a fenti speciális műveletekkel épülnek fel. (Kiderül, hogy a szimmetriák gyűjteményének egy úgynevezett oldható csoportot kell alkotnia. Erről bővebben a cikk vége felé). Ezután találsz egy olyan polinomot, amelynél a gyökök szimmetriái nem rendelkeznek ezzel a speciális tulajdonsággal, így tudod, hogy a gyökök nem építhetők fel a speciális műveletekből.
A cikk további részének témája annak pontosítása, hogy mit értünk a gyökök szimmetriája alatt, valamint e szimmetriák gyűjteményének szerkezetéről.
1.4 Jelölések
1.5 Tanácsok a cikk olvasásához
A cikk további része meglehetősen nehéz. Rengeteg új gondolat kerül bevezetésre és újra és újra felhasználásra, és sok az ismeretlen szó. A cikk végére olyan kifejezéseket fogok használni, mint hogy $Q$ a $Q$ radikális mezőbővítménye, mert minden lépésben csak ciklotómikus mezőbővítmények felhasználásával építhető fel. Ne ijedjen meg túlságosan ettől a látszólag idegen nyelvtől, minden szót a bevezetéskor megmagyarázok. A legjobb stratégia az olvasáshoz, ha lassan haladsz, és meggyőződsz róla, hogy pontosan érted, mit jelent minden szó, mielőtt továbblépsz a következő szakaszra, mert az adott szó újra és újra elő fog fordulni, és ha nem egészen érted, akkor minden csak egyre zavarosabb lesz, ahogy tovább olvasol. Ha azonban ezt online olvassa, egyszerűen rákattinthat bármelyik aláhúzott szóra, és az eredeti definíció felugrik egy kis ablakban.
2 Csoportok és mezők
Ezzel a ponttal kapcsolatban érdemes ellenőrizni, hogy eddig követte-e a szöveget. Nézd meg, hogy be tudod-e bizonyítani, hogy $S_n$ egy csoport, és hogy $n!$ elemei vannak. Ha boldogulsz a halmazok és függvények gondolatával, akkor bebizonyíthatod, hogy $S_X$ akkor is csoport, ha $X$ egy végtelen halmaz.
2.2 Mezők
2.3 Mezőbővítések
Definíció (Mezőbővítés):
Egy $F$ mező kiterjesztése egy $K$ mező, amely tartalmazza $F$-t (a mezőbővítést $F\subseteq K$ vagy $K/F$ alakban írjuk). Például a valós számok a racionális számok mezőbővítménye, mert a valós számok egy mező, és minden racionális szám egyben valós szám is.
2.4 Felosztó mezők
Itt kezdődik a Galois-elméleti rész.
Egy másik példa, hogy a $p(x)=x^4-5x^2+6$ felosztó mezője a $Q$. Látod, hogy miért?
3 Automorfizmusok és Galois-csoportok
Lehet ellenőrizni, hogy a fenti $f$ függvény esetében valóban minden feltételnek megfelel.
A mezőautomorfizmus lényege, hogy csak a mező elemeinek átcímkézését teszi lehetővé anélkül, hogy a szerkezetet egyáltalán megváltoztatná. Más szóval a $\sqrt{2}$ szimbólumot felcserélhetjük a $-\sqrt{2}$ szimbólummal, elvégezhetjük az összes számításunkat, majd a $-\sqrt{2}$ szimbólumot visszacserélhetjük $\sqrt{2}$-ra, és máris megkapjuk a helyes választ. A mezőautomorfizmusok a megfelelő módja ennek az elképzelésnek,mert a feltételek, hogy $f(x+y)=f(x)+f(y)$ megőrzik a szorzást, összeadást és így tovább.
3.2 A Galois-csoport
4 Oldhatóság radikálisokkal
A Galois-elméletben továbbmenni sajnos túl bonyolult lenne. A gyökökkel nem oldható polinomok létezésének további bizonyítását vázolom.
5 Szögek háromszögezése
Mint már említettem, a Galois-elmélet segítségével megmutathatjuk, hogy lehetetlen minden szöget háromszögelni vonalzóval és iránytűvel. Felvázolok egy bizonyítást arra, hogy vonalzóval és iránytűvel nem lehet $20^{\circ}$ szöget konstruálni (és így nem lehet $60^{\circ}$ szöget háromszögelni).
Nem nyilvánvaló, hogy minden konstruálható számnak egy ilyen alakú térbeli kiterjesztésben kell feküdnie, de valahogy beláthatjuk, hogy miért, mert adott $x$, $y$ hosszúságú egyenes szakaszok esetén geometriai konstrukciókkal lehet más $x+y$, $x y$ és $1/x$ hosszúságú egyenes szakaszokat konstruálni. Sőt, $\sqrt{x}$ hosszúságú egyenes szakasz is konstruálható kizárólag geometriai konstrukciókkal. Sőt, azt is megmutathatod, hogy csak ezeket a dolgokat tudod geometriai konstrukciókkal elvégezni. (Ha meg akarod próbálni, ezt úgy tudod bizonyítani, hogy felhasználod azt a tényt, hogy jelöletlen vonalzóval és iránytűvel csak annyit tudsz csinálni, hogy megtalálod két egyenes metszéspontját, ami csak számtani műveleteket ad, megtalálod egy egyenes és egy kör metszéspontját, ami négyzetgyököt ad, valamint kör és kör metszéspontját, ami négyzetgyököt ad). Látod, hogy ez miért jelenti azt, hogy egy konstruálható mezőbővítményben lévő számot (a fenti definíció szerint) csak egy jelöletlen vonalzó és iránytű segítségével lehet konstruálni, és hogy csak a konstruálható mezőbővítményekben lévő számokat lehet ilyen módon elkészíteni?
A következőben megmutatod, hogy ha van egy olyan köbös polinom $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$, amelynek gyökei nem racionális számok, akkor a gyökök nem konstruálhatók? Ezt nem túl nehéz bizonyítani, de igényel némi olyan tudást, ami túlmutat azon, amit a cikkhez feltételezek.
Itt jön az okos rész. Tegyük fel, hogy egy $20^{\circ}$ szöget tudunk konstruálni, akkor a $\cos(20^{\circ})$ szám konstruálható (egyszerűen csak egy merőlegeset dobhatunk egy egyenes $20^{\circ}$ pontjából a vízszintesre, az origótól $1$ távolságra). Megmutathatjuk azonban, hogy $\alpha=\cos(20^{\circ})$ a $8x^3-6x-1=0$ egyenlet gyöke (ha a $\cos(60^{\circ})$-t a $\cos(20^{\circ})$-ra kiterjesztjük az összeadási képlet segítségével). Könnyű megmutatni, hogy ennek nincsenek racionális gyökei, tehát a gyökök nem konstruálhatók. Ez azt jelenti, hogy nem konstruálhattunk volna $20^{\circ}$ szöget, mert akkor $\cos(20^{\circ})$-t tudnánk konstruálni, ami lehetetlen. Tehát egy $60^{\\circ}$ szöget nem lehet háromszögelni.
Az ehhez hasonló módszereket használhatjuk más eredmények bizonyítására is, például arra vonatkozóan, hogy milyen alakzatok konstruálhatók és milyenek nem, és így tovább.
6 További olvasmányok