Ez egy sorozat része a gyakori tévhitekről.

Igaz vagy hamis?

A végtelen a valós számsor végén lévő szám.

Miért mondják egyesek, hogy igaz: mert a végtelen az a szám, amelyik nagyobb az összes többi számnál.

Miért mondják egyesek, hogy hamis: mert a végtelen nem szám, és a számsornak nincs vége.

Az állítás hamis \color{#D61F06}{\textbf{hamis}}hamis.

Bizonyítás:

A tévhit itt az, hogy “ha a számsoron egyre nagyobb és nagyobb számolószámok mellett haladsz felfelé, akkor végül a számolószámok egyszerűen feladják (valahol azután a pont után, amikor a tanárod megunja a tik-taposást), és ott lesz egy végtelen jel (∞\infty∞), ami a számsor végét jelzi”. Alternatívaként egyesek azt mondják, hogy “a végtelen a számsor végén van, de még mindig végtelen sok szám van a végtelennél kisebb, valamint a végtelen és a számsor bármely más pontja között”. Mindkét felfogás a számtannal kapcsolatos fogalmakban gyökerezik, azonban mindkettő alapvetően helytelen.

Amikor a tanárod ∞\infty∞-vel “véget vet a számsornak”, ez valójában egy félrevezető rövidítés annak ábrázolására, hogy a számsor a végtelenségig tart. Egy kevésbé félrevezető módja ennek a fogalomnak az lenne, ha a számsort egy nyíllal meghosszabbítanánk. Ezenfelül az általánosan elterjedt általános sorozatjelöléssel jelezhetnénk, hogy az egész számok azután is folytatódnak, hogy úgy döntünk, hogy abbahagyjuk a feljegyzésüket: “…n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,…”, hogy ebben az esetben az összes nemnegatív egész számot leírjuk. Ezt a halmazt általában “természetes számok (N\mathbb{N}N)” vagy “nemnegatív egész számok” néven is ismerik.

A tévedés abban rejlik, hogy a ∞\infty∞ egész vagy egész számként vagy a valós számok egyikeként kezeljük. Ez nem ugyanaz, mint azt hinni, hogy a ∞\infty∞ a szó angol értelmében “valós” vagy “nem valós”. A végtelen egy “valós” és hasznos fogalom. A végtelen azonban nem tagja a matematikailag meghatározott “valós számok” halmazának, és ezért nem szám a valós számok sorában.

A valós számok halmazát, R\mathbb{R}R, a legtöbb főiskolát megelőző iskolában magyarázzák, nem pedig definiálják. És még akkor is általában csak röviden magyarázzák, egy olyan leírással, hogy “a számegyenes összes pontja”, és azzal a további kiegészítéssel, hogy “a negatív valós számok a 0-tól balra, a pozitív számok pedig a 0-tól jobbra eső számok”.

A legtöbb diáknak nem tanítják meg a valós számok szigorú definícióját, hacsak nem lesz matematika szakos egyetemi hallgató. Az egyik leggyakoribb definíció, amit akkor megtanulnak, hogy a valós számok a racionális számok Dedekind-metszeteinek halmaza. A valós számok bármely szigorú definíciója esetén azonnal nyilvánvaló, hogy a “végtelen” nem tagja a valós számok halmazának.

Cáfolat: A határértékek vizsgálatában a végtelent (∞\infty∞) ugyanúgy kezeljük, mint bármely más számot. Miért tesszük ezt a számtanban, ha a végtelen valójában nem is szám?

Visszavágás: Sokakat pontosan úgy tanítanak a határértékekről az előszámításban vagy a számtanban, ahogyan te leírtad, és a végtelenség kezelésének módja félrevezető módon azt sugallja, hogy a végtelen csak egy másik szám. Például egy olyan függvényre, amelynek vízszintes aszimptotája 5-nél van, azt mondhatjuk, hogy az f(x)f(x)f(x) határértéke, ahogy xxx közeledik a végtelenhez, öt: f(x)x→∞=5f(x)_{x\rightarrow \infty} = 5f(x)x→∞=5, és ha f(x)f(x)f(x)f(x) függőleges aszimptotája 171717-nél van, akkor azt tanítják, hogy f(x)x→17=∞f(x)_{x\rightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Sok diáknak ez az első találkozása a ∞\infty∞-vel, és ez egy nagyon félrevezető bevezetés, mivel azt sugallja, hogy a ∞\infty∞ olyan számként kezelhető, amely egyszerűen “nagyobb, mint minden más szám.”

A végtelen azonban ebben az összefüggésben csak egy jól definiált fogalom rövidítése, amely szerint a függvénynek nincs valós értékű határértéke, hanem korlátlanul, örökké növekszik. További részletekért lásd a függvények határértékeiről szóló wikiben!

Visszautalás: Határozottan láttam már végtelent matematikai tankönyvekben, és néha úgy definiálják, mint az összes nem végtelen számnál nagyobb számot. Miért van ott, ha ez nem egy valódi matematikai fogalom?

Viszonválasz: A végtelen nem egy valódi matematikai fogalom: Valóban vannak olyan matematikai számhalmazok, például a kardinális számok és az ordinális számok, amelyekben a ∞\infty∞ sokféleképpen definiált változata szám. És a szigorúan definiált számrendszereknek, amelyek tartalmazzák a ∞\infty∞-et, sok értékes alkalmazásuk van. Például a kardinális számok halmazában a végtelen valójában annak a mértékegysége, hogy hány valós szám van. A valós számok R\mathbb{R}R halmaza azonban úgy van definiálva, hogy a végtelen minden változata kimarad belőle.

Kiegészítésképpen, amikor a kardinális számokat tekintjük, meg kell változtatnunk a végtelenről alkotott intuíciónkat: ez nem szám a “számsor” értelmében, ahogyan a valós számokat alkalmazzuk. Ehelyett a halmazok méretének mérésére és összehasonlítására szolgáló fogalom.

Szintén

• A valós számok
• A valós soron való ábrázolás
• Dedekind vágások
• A függvények határai
• List of Common Misconceptions

.