Homorfismo, (del griego homoios morphe, «forma similar»), una correspondencia especial entre los miembros (elementos) de dos sistemas algebraicos, como dos grupos, dos anillos o dos campos. Dos sistemas homomórficos tienen la misma estructura básica y, aunque sus elementos y operaciones pueden parecer totalmente diferentes, los resultados de un sistema suelen aplicarse también al otro. Así, si se puede demostrar que un nuevo sistema es homomórfico a un sistema conocido, ciertas características conocidas de uno pueden aplicarse al otro, simplificando así el análisis del nuevo sistema.

En un homomorfismo, los elementos correspondientes de dos sistemas se comportan de forma muy similar en combinación con otros elementos correspondientes. Por ejemplo, sean G y H grupos. Los elementos de G se denotan g, g′,…, y están sujetos a alguna operación ⊕. (Aunque el símbolo puede pensarse como alguna operación como la multiplicación, el símbolo puede indicar igualmente la rotación o alguna otra operación no aritmética). Del mismo modo, los elementos de H se denotan por h, h′,…, y están sujetos a alguna operación ⊗. Un homomorfismo de G a H es una correspondencia g → h entre todos los elementos de G y algunos elementos de H que tiene la siguiente propiedad: si g → h y g′ → h′, entonces g ⊕ g′ → h ⊗ h′. En otras palabras, el elemento de H correspondiente a un producto de elementos de G es el producto, en el mismo orden, de los elementos de H correspondientes a los dos elementos de G. Expresado de forma más compacta, la «imagen» del producto es el producto de las imágenes, o la correspondencia preserva la operación.

Una correspondencia entre miembros de dos sistemas algebraicos puede escribirse como una función f de G a H, y se habla de f como un «mapeo» de G a H. La condición de que f sea un homomorfismo del grupo G al grupo H puede expresarse como el requisito de que f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′).

Los homomorfismos imponen condiciones a un mapeo f: si e es la identidad de G, entonces g ⊕ e = g, por lo que f(g ⊕ e) = f(g). Además, como f es un homomorfismo, f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e), por lo que f(g) = f(g) ⊗ f(e). Por las leyes de cancelación de grupos, esto implica que f(e) es igual a la identidad en H. Así, los homomorfismos mapean el elemento único de identidad de un grupo al elemento único de identidad del otro grupo. Del mismo modo, los homomorfismos asignan la inversa de un elemento g en un grupo a la inversa del elemento f(g). Por eso los homomorfismos se llaman mapas preservadores de la estructura.

Tipos especiales de homomorfismos tienen sus propios nombres. Un homomorfismo uno a uno de G a H se llama monomorfismo, y un homomorfismo que es «onto», o cubre cada elemento de H, se llama epimorfismo. Un homomorfismo especialmente importante es el isomorfismo, en el que el homomorfismo de G a H es unívoco y onto. En este último caso, G y H son esencialmente el mismo sistema y sólo difieren en los nombres de sus elementos. Por lo tanto, los homomorfismos son útiles para clasificar y enumerar los sistemas algebraicos, ya que permiten identificar lo estrechamente relacionados que están diferentes sistemas.